除外点位相の定義と性質を詳しく

除外点位相とは，ある特定の点 $p$ を含まない部分集合全体を開集合系にするような位相空間で， $T_0,T_4, T_5$ 分離公理をみたすが， $T_1,T_2, T_3$ をみたさない特殊な空間です。

除外点位相の定義と性質を掘り下げましょう。

除外点位相の定義
除外点位相の性質
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参考

除外点位相の定義

定義（除外点位相）

$X$ を空でない集合とし， $p\in X$ とする。

\Large \color{red}\mathcal{O}_{\neg p} =\{X\}\cup \{ O\subset X\mid p\notin O\}

を， $p$ を含まない部分集合全体の集合（と全体集合の和集合）とすると， $(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ は位相空間となる。この位相を除外点位相 (excluded point topology) という。

除外点位相の性質

可算性・分離性・コンパクト性・連結性に分けて性質を解説しますが，最初に紹介するもの全てまとめておきます。

$X$ の濃度	2点 (シェルピンスキー空間)	3点以上の有限集合可算集合	非可算集合
第一可算	〇	〇	〇
第二可算	〇	〇	×
可分	〇	〇	×
$T_0$ 空間	〇	〇	〇
$T_1, T_2, T_3$ 空間	×	×	×
$T_4, T_5$ 空間	〇	〇	〇
コンパクト	〇	〇	〇
点列コンパクト	〇	〇	〇
連結	〇	〇	〇
弧状連結	〇	〇	〇
弧連結	×	×	×
hyperconnected	〇	×	×
ultraconnected	〇	〇	〇

順番に考えます。

1. 除外点位相と可算公理

定理1（除外点位相と可算公理）

$(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ を除外点位相が入った位相空間とする。このとき，

$X$ は第一可算である。
$X$ が高々可算集合のとき第二可算である。非可算集合のときは第二可算でない。
$X$ が高々可算集合のとき可分である。非可算集合のときは可分でない。

定理1の証明

1.について，各点 $x\in X\setminus\{p\}$ に対し， $\mathcal{B}_x=\bigl\{\{x\}\bigr\}$ は $x$ の基本近傍系である。また， $\mathcal{B}_p=\{X\}$ は $p$ の基本近傍系である。よって， $X$ は第一可算である。

2.について，

\mathcal{B}= \{X\}\cup \bigl\{ \{x\}\mid x\in X\setminus \{p\} \bigr\}

とすると，これは $(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ の開基であり，逆にすべての開基は $\mathcal{B}$ を含む。よって， $X$ が高々可算なら第二可算であるし，非可算なら第二可算でない。

3.について， $A\subset X$ に対し，

\overline{A} = \begin{cases} A & p\in A \\ A\cup \{p\} & p\notin A\end{cases}

であるから， $X$ が高々可算のとき可分だし，非可算のときは可分でない。

証明終

2. 除外点位相と分離公理

定理2（除外点位相と分離公理）

$(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ を除外点位相が入った位相空間とする。このとき，

$X$ は $T_0$ 空間である。
$X$ は $T_1,T_2,T_3$ 空間でない。
$X$ は $T_4, T_5$ 空間である。

本記事では， $T_0$ から $T_5$ は以下のように定義しています。この定義は文献によって変わりますから，注意してください。

名称	定義
$T_0$ コルモゴロフ空間 (Kolmogorov space)	任意の異なる2点 $x,y\in X$ に対して， $x\in O_x,\, y\notin O_x$ となる開集合 $O_x$ または $x\notin O_y,\, y\in O_y$ となる開集合 $O_y$ の少なくとも一方が取れる
$T_1$	任意の異なる2点 $x,y\in X$ に対して， $x\in O_x,\, y\notin O_x$ となる開集合 $O_x$ と $x\notin O_y, \,y\in O_y$ となる開集合 $O_y$ の両方が取れる
$T_2$ ハウスドルフ空間 (Hausdorff space)	任意の異なる2点 $x,y\in X$ に対して， $x\in O_x, \, y\in O_y,\, O_x\cap O_y=\emptyset$ となる開集合 $O_x, O_y$ が取れる
$T_3$	任意の閉集合 $F$ と任意の点 $x\in X\setminus F$ に対して， $F\subset O_F,\, x\in O_x,\, O_F\cap O_x=\emptyset$ となる開集合 $O_F, O_x$ が取れる
$T_4$	任意の2つの互いに素な空でない閉集合 $F,G\subset X$ に対して， $F\subset O_F,\, G\subset O_G,\, O_F\cap O_G=\emptyset$ となる開集合 $O_F, O_G$ が取れる
$T_5$	$\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset$ をみたす任意の2つの空でない集合 $A,B\subset X$ に対して， $A\subset O_A,\, B\subset O_B,\, O_A\cap O_B=\emptyset$ となる開集合 $O_A, O_B$ が取れる

定理2の証明

1.について， $x,y\in X$ を異なる2点とすると，少なくとも一方は $p$ とは異なるので， $x\ne p$ とする。このとき， $\{x\}$ は， $x$ は含むが $y$ は含まない開集合なので， $T_0$ 分離公理をみたす。

2.について， $p$ を含む開集合は $X$ しかないので， $p$ を含むが， $x\in X\setminus\{p\}$ を含まない開集合は存在しない。よって， $T_1$ 空間でない。これより， $T_2$ 空間でもない。また，空でない閉集合 $F$ は $p$ を必ず含むので， $F$ を含む開集合は $X$ しかない。したがって， $T_3$ 空間でもない。

3.について示す。空でない閉集合は，必ず $p$ を含むので，空でない2つの閉集合 $F,G\subset X$ は取れない。よって， $T_4$ 空間である(空虚な真)。

また，空でない $A,B\subset X$ を， $\overline{A}\cap B=\emptyset$ をみたすとする。 $\overline{A}$ は $p$ を含むから， $p\notin B$ である。また， $A\cap \overline{B}=\emptyset$ もみたすとすると，同様に $p\notin A$ となる。このとき， $A, B$ 自身が互いに素な開集合である。ゆえに $T_5$ 空間である。

証明終

3. 除外点位相とコンパクト性

定理3（除外点位相とコンパクト性）

$(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ を除外点位相が入った位相空間とする。このとき，

$X$ はコンパクトである。
$X$ は点列コンパクトである。

定理3の証明

1.について， $\{U_\lambda\}\subset \mathcal{O}_{\neg p}$ を $X$ の開被覆とすると， $p$ を含むある開集合 $U_\lambda\in \mathcal{O}_{\neg p}$ が存在するが， $p$ を含む開集合は $X$ のみなので， $U_\lambda =X$ でなければならない。よって， $\{X\}$ は部分被覆となるので，コンパクトである。

2.について， $\{x_n\}\subset X$ を任意の点列すると， $p$ を含む開集合は $X$ のみなので，この点列は $p$ に収束する。ゆえに，点列コンパクトである。

証明終

4. 除外点位相と連結性

定理4（除外点位相と連結性）

$(X,\mathcal{O}_{\neg p})$ を除外点位相が入った位相空間とする。このとき，

$X$ は連結である。
$X$ は弧状連結である。
$X$ は弧連結でない。
$X$ は2点集合(シェルピンスキー空間)のとき，hyperconnected であり，3点以上の集合のときは hyperconnected でない。
$X$ は ultraconnected である。

まず定義を確認しておきましょう。

名称	定義
連結 (connected)	2つの互いに素な開集合 $U,V$ で， $U\cup V=X$ となっているものは存在しない
弧状連結 (path connected)	任意の異なる2点 $x,y\in X$ について，ある連続写像 $f\colon [0,1]\to X$ で， $f(0)=x, f(1)=y$ となるものが存在する
弧連結 (arc connected)	上の $f$ として，埋め込みすなわち $f\colon [0,1]\to f([0,1])$ が同相となっているものが常に取れる（※ 単に $f$ として全単射なものが取れるとすることもある）
hyperconnected	任意の空でない2つの開集合が常に共通部分を持つ
ultraconnected	任意の空でない2つの閉集合が常に共通部分を持つ

定理4の証明

1,2,5.について

任意の空でない閉集合は $p$ を含むので，ultraconnected である。ultraconnected なら弧状連結だし，弧状連結なら連結なので，1,2,5.が示せた。

4.はほぼ明らかなので略。

3.について

$f\colon [0,1]\to X$ を全単射かつ連続とする。 $x\in f([0,1])\setminus \{p\}$ とすると， $\{x\}$ は開集合なので， $f^{-1}(\{x\})\subset [0,1]$ も開集合であるが， $f$ は全単射なので1点集合でもある。これはあり得ない。ゆえに弧連結でない。

証明終