hyperconnected な位相空間とは，任意の空でない2つの開集合が常に共通部分を持つ空間のことで，ultraconnected な位相空間とは，任意の空でない2つの閉集合が常に共通部分を持つ空間のことを言います。定義は似ていますが，別の空間で，hyperconnected だが ultraconnected でない空間や，その逆も考えられます。
これらの空間について，定義と具体例，簡単な性質を紹介しましょう。
hyperconnected(既約位相空間)とultraconnectedの定義
定義 (hyperconnected・ultraconnected)
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。
任意の空でない2つの開集合が常に共通部分を持つとき，位相空間 X は hyperconnected (既約; irreducible) であるという。
任意の空でない2つの閉集合が常に共通部分を持つとき，位相空間 X は ultraconnected であるという。
任意の U, V\in\mathcal{O}\setminus\{\emptyset\} に対し， U\cap V\ne \emptyset となるとき，hyperconnected といい，
\mathcal{F} を (X,\mathcal{O}) の閉集合族とするとき，任意の F, G \in\mathcal{F}\setminus\{\emptyset\} に対し， F\cap G\ne\emptyset となるとき，ultraconnected といいます。
さらに，hyperconnected と ultraconnected は以下のように言い換えられます。
hypereconnected とは，任意の空でない開集合 U\in\mathcal{O} が稠密，すなわち \overline{U}=X となることと同等である。
ultraconnected とは，任意の異なる2点 a,b\in X に対し， \overline{\{a\}}\cap \overline{\{b\}}\ne\emptyset となることと同等である。
1つ目は，閉集合の補集合が開集合であることを考えると，示せます。2つ目もほぼ明らかでしょう。
名前から，hyperconnected または ultraconnected なら，連結 (connected) であることが証明できます。
定理1（連結性）
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。このとき，
- X が hyperconnected なら連結 (connected) である。
- X が ultraconnected なら弧状連結 (path connected) である。よって連結 (connected) である。
証明
1.について， X が連結でないとすると，ある U,V\in\mathcal{O}\setminus\{\emptyset\} が存在して， U\cap V=\emptyset かつ U\cup V=X となるが，1つ目の等式は hyperconnected の定義に反している。
2.について， a,b\in X を異なる2点とする。 X は ultraconnected なので， p\in\overline{\{a\}}\cap \overline{\{b\}} が取れる。 f\colon [0,1]\to X を
f(t)=\begin{cases} a & 0\le t<1/2, \\ p &t=1/2, \\ b & 1/2<t \le 1 \end{cases}
と定めると，f は連続である。実際， U\in\mathcal{O} とすると， f^{-1}(U) は \emptyset, [0,1/2), (1/2, 1], [0,1]\setminus\{1/2\}, [0,1] のいずれかで，すべて開集合である。すなわち，p\in U のとき， a,b\in U である。
したがって， X は弧状連結である。
証明終
その他，連結性と関連する概念には，以下のような論理関係があります。
hyperconnected, ultraconnectedの例
さて，今から挙げる例は，以上のように分類されます。数字は例番号です。みていきましょう。
例1(密着位相).
(X,\{\emptyset, X\}) を密着空間とすると，この空間は hyperconnected かつ ultraconnected である。
これは明らかでしょう。
例2(シェルピンスキー空間).
X=\{0,1\} とし，\mathcal{O}=\{ \emptyset, \{1\},\{0,1\}\} としたとき，位相空間 (X,\mathcal{O}) は hyperconnected かつ ultraconnected である。
この位相空間の閉集合族は \{ \emptyset, \{0\}, \{0,1\}\} です。
例3(右順序位相).
\R において，\mathcal{O}=\{\emptyset, \R\}\cup \{ (a,\infty)\mid a\in\R\} としたとき，位相空間 (X,\mathcal{O}) は hyperconnected かつ ultraconnected である。
この位相空間の閉集合族は \{\emptyset, \R\}\cup \{ (-\infty, a]\mid a\in \R\} ですね。
例4(補有限位相).
X を無限集合とし，
\mathcal{O}=\{\emptyset\}\cup \{ O\subset X\mid X\setminus O\text{ is finite}\}
を，補集合が有限集合である集合全体とすると，位相空間 (X,\mathcal{O}) は hyperconnected だが ultraconnected ではない。
また，
もし， X が可算集合で，定値写像でない f\colon [0,1]\to X が連続だったとしましょう。このとき， x\in X に対し， f^{-1}(\{x\}) は閉集合で，
[0,1] = \bigcup_{x\in X} f^{-1}(\{x\})
は閉集合の2個以上高々可算個の非交和になりますが， [0,1] は閉集合の2個以上高々可算個の非交和では表せないことが知られているので，これは矛盾します。よって，弧状連結ではありません。同じ理由で，局所弧状連結でもありません。
一方で， X が非可算かつ連続体仮説をみたすとすると，異なる2点 x,y\in X に対し， x,y\in S\subset X となる，連続体濃度の集合 S がとれます。このとき， f(0)=x, f(1)=y となる全単射 f\colon [0,1]\to S が取れますが，これは連続写像です。実際， F\subset S を閉集合とすると， F は有限集合なので， f^{-1}(F)\subset [0,1] も有限集合なため，閉集合です。なので f は連続です。
例5(特定点位相).
X を3点以上の集合とし，p\in X とする。
\mathcal{O}=\{\emptyset\}\cup \{ O\subset X\mid p\in O\}
を， p を含む部分集合族(と \emptyset)とすると，位相空間 (X,\mathcal{O}) は hyperconnected だが ultraconnected ではない。
また，弧状連結 (path connected) や局所弧状連結 (locally path connected) であるが，弧連結 (arc connected) ではない。
すべての空でない開集合は p を含むので，hyperconnected となることは分かります。一方で， X は3点以上の集合なので， p でない2点 x,y\in X を取ってくると， \{x\}, \{y\} は互いに素な閉集合となります。よって ultraconnected ではありません。
一方で，異なる2点 x,y\in X に対し(どちらか片方が p に一致していてもよい)， f\colon [0,1]\to X を
f(t) = \begin{cases} x & t=0,\\ p & 0<t<1 ,\\ y & t=1\end{cases}
とすると， f は連続になるので，弧状連結です。局所弧状連結であることも同じです。ただし， f が連続なら， f^{-1}(\{p\})\subset [0,1] は開集合なので， p\in f([0,1]) のときは， f は全単射になりえません。ゆえに，弧連結にはなりません。
例6(除外点位相).
X を3点以上の集合とし，p\in X とする。
\mathcal{O}=\{X\}\cup \{ O\subset X\mid p\notin O\}
を， p を含まない部分集合族(と X)とすると，位相空間 (X,\mathcal{O}) は ultraconnected だが hyperconnected ではない。
また，弧状連結 (path connected) や局所弧状連結 (locally path connected) であるが，弧連結 (arc connected) ではない。
ultraconnected であるが，hyperconnected ではないことは，例5.の話をある意味ひっくり返せば同じです。
ultraconnected であれば 弧状連結であることは定理1で示しました。局所弧状連結も同じです。ただし， f が連続なら， x\in X\setminus\{p\} に対して， f^{-1}(\{x\})\subset [0,1] は開集合なので，全単射にはなりません。ゆえに，弧連結にはなりません。
例7(\R).
実数全体の集合 \R に通常の位相を入れたものは，hyperconnected でも ultraconnected でもないが，弧連結 (arc connected) であるし，したがって，弧状連結 (path connected) でも連結 (connected) でもある。
いくつかの性質
定理2（hyperconnected 空間と ultraconnected 空間の性質）
(X,\mathcal{O}) を位相空間とし， f\colon X\to \R を連続とする。このとき，
X が hyperconnected または ultraconnected なら， f は定数関数である。よって，特に X は擬コンパクト (pseudocompact) である。
X が ultraconnected なら， T_4 空間である。
証明
f が定数関数でないとすると，ある x,y\in X があって， f(x)\ne f(y) である。このとき，ある開集合 (resp. 閉集合) A,B\subset \R が存在して，
f(x)\subset A,\, f(y)\subset B , A\cap B\ne \emptyset,
とできる。このとき， f^{-1}(A), f^{-1}(B) は互いに交わらない開集合 (resp. 閉集合)となり，hyperconnected (resp. ultraconnected) であることに矛盾する。ゆえに， f は定数関数である。
また，X が ultraconnected なら，互いに素な空でない閉集合の組は取れない。 T_4 空間の定義は，「互いに素な空でない2つの閉集合は開集合で分離される」であるが，そもそも互いに素な空でない2つの閉集合が取れないため，ultraconnected 空間は， T_4 空間の定義を満たしているといえる。
証明終
連結性に関連する概念
最後に，連結性に関連する概念を紹介しておきましょう。
| 名称 | 定義 |
|---|---|
| 連結 (connected) | 2つの互いに素な開集合 U,V で， U\cup V=X となっているものは存在しない |
| 弧状連結 (path connected) | 任意の異なる2点 x,y\in X について，ある連続写像 f\colon [0,1]\to X で， f(0)=x, f(1)=y となるものが存在する |
| 弧連結 (arc connected) | 上の f として，埋め込みすなわち f\colon [0,1]\to f([0,1]) が同相となっているものが常に取れる（※[1]では単に全単射なものが取れるとしている。 X がハウスドルフなら同値） |
| hyperconnected | 任意の空でない2つの開集合が常に共通部分を持つ |
| ultraconnected | 任意の空でない2つの閉集合が常に共通部分を持つ |
| 完全不連結 (totally disconnected) | 連結部分集合が空または1点集合のみ |
| 完全弧状不連結 (totally path disconnected) | 弧状連結部分集合が空または1点集合のみ |
| 局所連結 (locally connected) | 全ての点において，連結集合からなる基本近傍系を持つ |
| 局所弧状連結 (locally path connected) | 全ての点において，弧状連結集合からなる基本近傍系を持つ |
| 単連結 (simply connected) | f(0)=f(1) をみたす任意の連続写像 f\colon [0,1]\to X が定値写像とホモトピック |
