ルベーグ数とルベーグの被覆補題の証明

位相空間論におけるルベーグ数とは，コンパクト距離空間上における開被覆を測る尺度であり，その存在は，ルベーグの被覆補題によって分かります。

ルベーグ数と，ルベーグの被覆補題とその証明について，解説しましょう。

ルベーグ数とルベーグの被覆補題

以下で，距離空間 $(X,d)$ と集合 $A\subset X$ に対し， $A$ の直径 (diameter) を

\Large \color{red} \delta(A)=\sup_{x,y\in A} d(x,y)

と定めます。

ルベーグの被覆補題 (Lebesgue covering lemma)

$(X,d)$ をコンパクト距離空間とし， $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を開被覆とする。

このとき，ある $\delta>0$ が存在して， $\delta(A)<\delta$ をみたす任意の集合 $A\subset X$ に対し，ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して， $A\subset U_\lambda$ とできる。

このような $\delta$ を開被覆 $\{U_\lambda\}$ のルベーグ数 (Lebesgue numger) という。

定義より， $\delta>0$ がルベーグ数ならば， $0<\delta'<\delta$ をみたす任意の $\delta'$ もルベーグ数になります。理論的には，最大のルベーグ数を考えたくなりますね。まぁ良いです。

早速定理を証明しましょう。

証明

$X$ はコンパクトであるから， $\{U_j\}_{j=1}^n$ を有限部分開被覆として，この開被覆に対して定理を示すので良い。また， $U_j=X$ となるような $j$ が存在するときは，明らかに定理は成立するので， $\emptyset \ne U_j\subsetneq X$ としてよい。

各 $1\le j\le n$ に対して， $F_j= X\setminus U_j$ と定める。さらに， $f\colon X\to \R$ を

f(x)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n d(x, F_j)

と定める。ただし， $d(x, F_j)=\inf_{y\in F_j} d(x,y)$ である。このとき， $f$ は連続関数であり， $x\in U_j$ とすると， $d(x, F_j)>0$ となることと， $\{U_j\}_{j=1}^n$ が開被覆であることから，任意の $x\in X$ で $f(x)>0$ である。

コンパクト空間上の連続関数は最小値をもつから， $\delta=\min_{x\in X} f(x)>0$ が定まる。これがルベーグ数であることを示そう。

$\delta(A)<\delta$ となる $\emptyset\ne A\subset X$ を任意に取る。 $a\in A$ とすると， $f(a)\ge \delta$ であるから，ある $1\le j\le n$ が存在して， $d(a, F_j)\ge \delta$ となる。よって，