局所コンパクトの定義と性質とその証明

定理1の証明

y\in f(X) とする。 x\in f^{-1}(\{y\}) とすると，X は局所コンパクトなので，コンパクトな近傍 x\in K\subset X が取れる。 f は連続なので， f(K)\subset f(X) はコンパクトであり， f は開写像なので，y\in f(K) は y の近傍である。

よって， y のコンパクトな近傍 f(K)\subset f(X) が取れたので， f(X) は局所コンパクトである。

証明終

定理2の証明

1.\implies 2.について

x=(x_\alpha) \in X とする。 X は局所コンパクトなので， x のコンパクトな近傍 K\subset X が取れる。

K は x の近傍なので， x\in U\subset K となる開基 U が取れる。直積位相の(一般的な)開基はある n \ge 1 と異なる \alpha_1, \ldots, \alpha_n\in \Alpha と U_{\alpha_1}\in \mathcal{O}_{\alpha_1},\ldots, U_{\alpha_n}\in \mathcal{O}_{\alpha_n} を用いて

とかける。射影 p_\alpha は連続なので， p_\alpha(K) はコンパクトである。 k=1,2,\ldots, n に対し，

なので， x_{\alpha_k}\in X_{\alpha_k} がコンパクトな近傍 p_{\alpha_k}(K) をもつため， X_{\alpha_k} は局所コンパクトである。また， \alpha\in \Alpha\setminus\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\} に対し， p_\alpha(K)=X_\alpha なので， X_\alpha はコンパクトである。よって，2.が示せた。

2.\implies 1.について

n\ge 1,\, \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \Alpha とし， \alpha\in \Alpha\setminus\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\} に対し， X_\alpha はコンパクトと仮定する。

x=(x_\alpha)\in X とする。 k=1,\ldots, n に対し， X_{\alpha_k} は局所コンパクトなので，

となる x_{\alpha_k} のコンパクトな近傍 K_{\alpha_k} が存在する。チコノフの定理より，コンパクトの直積はコンパクトなので，

はコンパクトである。さらにこれは x の近傍でもある。したがって， X は局所コンパクトである。

証明終

証明

ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合なので，1. \iff 2.，3.\iff 4.である。

あとは 2.\implies 3.を示せばよい。 x\in X とし， x の任意の開近傍 U を取ろう。示すべきことは，x\in W\subset U となる x のコンパクトな近傍 W が取れることである。

2.の仮定より， x の相対コンパクト(すなわち閉包がコンパクト)な開近傍 K を取ることができる。 \overline{K}\subset U なら証明が終わってしまうので， \overline{K}\setminus U\ne\emptyset とする。

\overline{K}\setminus U はコンパクト集合 \overline{K} の閉部分集合なのでコンパクトであり，また \{x\} もコンパクト集合である。ハウスドルフ空間における交わらない2つのコンパクト集合は開集合によって分離できるから，

となる開集合 V_1, V_2\subset X が取れる。

W=K\cap V_2 と定めると，x\in W かつ W は開集合なので， W は x の開近傍であり， \overline{W}=\overline{K\cap V_2}\subset \overline{K}\cap \overline{V_2} (→【位相空間】閉包とは～定義と例と性質～)はコンパクト集合 \overline{K} の閉部分集合なのでコンパクトである。よって示せた。

証明終

証明

2.\implies 1.について

x\in A\subset U とする。 X が局所コンパクトであることと，定理3より， x の X におけるコンパクト閉近傍 x\in K\subset U が存在する。ここで， x\in K\cap F であり， K\cap F は K の閉部分集合なので， X の位相でコンパクトである。 K\cap F\subset A より， A の位相でもコンパクトである。

K\cap F = K\cap F\cap U = K\cap A より， K\cap F は部分空間 A における x の近傍になっているから， x\in A はコンパクトな近傍を持つことが分かったので， A は局所コンパクトである。

1.\implies 2.については，「より一般に～」以下を示す

結論の U\cap F は部分空間 F における開集合である。F=\overline{A} とすればよいので， A が部分空間 \overline{A} における開集合であることを示せばよい。 x\in A を任意に取る。

A は局所コンパクトハウスドルフ空間より，定理3から，ある x\in V\subset A が存在して， V は部分空間 A における開集合かつ \overline{V}^A がコンパクトであるものが取ってこれる。ただし，\overline{\hspace{2pt}\cdot\hspace{2pt}}^A とは，部分空間 A における閉包を表す。

\overline{V}^A はハウスドルフ空間 X におけるコンパクト集合でもあるから， \overline{V}^A は X における閉集合である。 \overline{V} は， X における V を含む最小の閉集合であるから， \overline{V}^A=\overline{V} でなければならない。特に，

である。 V は A における開集合なので，ある X における開集合 W\in\mathcal{O} が存在して，V=A\cap W とかける。よって，

となる。ここで， \overline{A}\cap W\subset \overline{A\cap W} である(※後述)ので，

右辺は x を含む，部分空間 \overline{A} における開近傍であるので， A が開集合であることになる。

※について y\in \overline{A}\cap W とする。 X における y の任意の開近傍 y\in N を取ると， W は開集合なので， y\in W\cap N も開近傍であり，これと y\in \overline{A} から， A\cap W\cap N\ne\emptyset である。これは， y\in \overline{A\cap W} を意味する。したがって， \overline{A}\cap W\subset \overline{A\cap W} である。

証明終

証明

\implies について

A が局所コンパクトなら，定理5より，ある開集合 U と閉集合 F を用いて A=U\cap F とかける。

なので， F=X でなければならない。ゆえに， A=U となるので， A は開集合である。

\impliedby について

A が開集合ならば， A= A\cap X の形でかけているので，定理5より， A は局所コンパクトである。

証明終