メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは～定義と性質～

メルセンヌ数とは， $2^n-1$ と表せる数で，これが素数のときはメルセンヌ素数といいます。これについて，定義と性質を解説しましょう。

メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは

定義（メルセンヌ数・メルセンヌ素数）

正の整数 $n$ に対し，

\Large \color{red} M_n=2^n-1

の形の数をメルセンヌ数 (Mersenne number) という。メルセンヌ数が素数であるとき，メルセンヌ素数 (Mersenne prime) という。

メルセンヌ数・メルセンヌ素数の具体例を挙げましょう。

メルセンヌ素数は現在51個知られており，一番大きい数は $2^{82589933}-1$ です。メルセンヌ素数が無数に存在するかどうかは未解決問題です。

$M_n = 2^n-1$ が素数ならば $n$ は素数であることが分かります。より一般に， $a^n-1$ が素数ならば $a=2$ かつ $n$ は素数です。主張を述べましょう。

定理（メルセンヌ数が素数ならば指数は素数）

$a,n$ を $2$ 以上の整数とする。 $a^n-1$ が素数ならば， $a=2$ かつ $n$ は素数である。

証明

a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots + 1)

である。 $a^{n-1}+a^{n-2}+\dots + 1 >1$ であることと，これが素数であることから， $a-1=1$ すなわち $a=2.$

$n\ge 2$ が素数でないと仮定すると， $n=pq \;\; (p,q\in \mathbb{Z}_{\ge 2} )$ と表せる。このとき，

\!\! 2^{pq} - 1 = (2^p-1)(2^{p(q-1)}+2^{p(q-2)}+\dots + 1)

であり， $2^p-1, 2^{p(q-1)}+2^{p(q-2)}+\dots + 1>1$ より，素数であることに矛盾する。よって， $n$ は素数である。

証明終

正の整数 $n$ が完全数 (perfect number) であるとは， $n$ の，自分自身以外の正の約数の総数が $n$ となる数のことを指します。このとき，以下の定理が成立します。

定理（メルセンヌ素数と完全数）

これは以下で証明しています。