数学において， \exp, \ln, \lg はそれぞれ
\begin{gathered} \exp x = e^x, \\ \ln x = \log_{e} x, \\ \lg x = \log_2 x \end{gathered}
の別表記として用いられます。これについて，詳しく掘り下げましょう。
【指数,対数の記号】数学におけるexp,ln,lg記号の意味
まずはもう一度，定義をまとめておきます。
定義（ \exp, \ln, \lg 記号）
数学において， \exp, \ln,\lg はそれぞれ
\color{red} \begin{gathered} \exp x = e^x, \\ \ln x = \log_{e} x, \\ \lg x = \log_2 x \end{gathered}
の別表現である。ただし， e は自然対数の底(ネイピア数)を表す。
それぞれについて，詳しく述べましょう。
exp記号について
\exp x は e^x とかくのと同じことです。でも，指数部分が複雑だとどうでしょうか。たとえば，
\exp\left\{-t\left(\frac{\sigma^2}{2}+\int_0^\infty (1-\cos \lambda x) \, dx \right)\right\}
を，
とかくと，見づらいですよね。このような式は，たとえば，確率論における積率母関数(モーメント母関数)などで出てきます。
このようなことを避けるために，指数部分を小さく書かなくても済む \exp x という表記が使われるわけですね。
ちなみに，指数は exponential というため，その頭文字を取って \exp なわけです。
ln記号について
\ln x は，自然対数 \log_e x と同じことです。
なお，数学では，単に \log x とかいたときに， \log_e x を意味することも多いです。ただ， \log x という表現は，化学などでは常用対数 \log_{10} x にも使われますから， \log x という表現は，文脈依存です。
本サイトでは，単に \log x とかけば，それは自然対数 \log_e x を意味することにしています。数学においては，常用対数を使う場面は少ないですから，日本における多くの書籍でも，そうなっていると思います。（ただし，海外のものは \ln となっているものも一定数あると思います。）
なお， \ln の読み方については，単に「エルエヌ」とか「ログ」と読むのでよいです。由来は natural logarithm とか，ラテン語とか言われていますが，よくわかりません。
lg記号について
\lg x は，2進対数 \log_2 x の意味です。上2つに比べれば，少々マイナーかもしれません。
「計算機科学」や「情報系」において，しばしば使われることがあります。コンピューターは， 0, 1 の文字列，すなわち2進数でデータを処理するため，そういった分野においては，2進対数の都合がいい訳ですね。
ただし，ISO国際規格では，2進対数は \lg x ではなく， \operatorname{lb} x とされています。また，文脈が明らかなときは \log x とかくこともあります。一方で， \lg x は常用対数 \log_{10} x を表すこともあるので，注意が必要です。
ちなみに，2進対数は，英語で Binary logarithm といいます。
