集合族，または集合系とは「集合の集まり」という意味です。たくさんの集合は，添え字を用いて A_1, A_2 のように区別されます。
集合族と添字集合について，その定義と使い方を解説します。
集合族と添字集合
定義（集合族）
集合の集まりを集合族 (family of sets) または集合系という。
集合の集まりとは，「集合の集合」です。各要素が集合であるような集合を「集合族」というのですね。
たとえば，集合 A_1=\{a\}, \;A_2=\{a,b\},\; A_3=\{a,b,c\} に対して，この集まり \{A_1, A_2, A_3\} は集合族です。
このとき，各集合 A_1,A_2,A_3 の右下に添えられている 1,2,3 を添え字 (index) といい，これらを集めた集合 \{1,2,3\} を添字集合 (index set) といいます。
さらにこのとき，集合族 \{A_1, A_2,A_3\} を添字集合 \{1,2,3\} で添え字付けられた集合族といいます。 定義を整理しておきましょう。
定義（添字集合）
集合族 \{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} について，その添え字の集合 \Lambda を添字集合 (index set) という。
また，このときの \{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} を \Lambda で添え字付けられた集合族という。
\lambda, \Lambda はそれぞれ小文字・大文字のラムダです。
集合族を \{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} のように書きましたが，このような，「集合族のかき方」については，今から掘り下げることにしましょう。
集合族のかき方
ここからは，集合族のかき方について見ていきましょう。
有限個の集合族
有限個の集合族は， 1,2,3,\dots, n のように，正の整数で番号をつけることが多いです。これを用いて，集合族は \color{red} \{A_k\}_{k=1}^n のように書くことが多いです。このとき，添字集合は \{1,2,3,\dots, n\} です。
あるいは， 0 から始めて \color{red} \{A_k\}_{k=0}^{n-1} などとすることもあります。このとき，添字集合は \{0,1,2,\dots, n-1\} です。
数字を振れば，集合が n 個集まっていることが容易にわかりますね。
可算個の集合族
続いて，可算個の集合族を考えましょう。「可算個」とは，簡単に言うと 1,2,3,\dots のように，正の整数で番号付けできることを指します(→可算集合と非可算集合(可算無限・非可算無限))。
整数で番号付けできるわけですから，可算個の集合族は \color{red} \{A_n\}_{n=1}^\infty のように書きます。あるいは，0 から始めて \color{red} \{A_n\}_{n=0}^\infty とかくこともあるでしょう。このとき，添字集合はそれぞれ \mathbb{Z}_{\ge 1}, \mathbb{Z}_{\ge 0} です。
番号が明らかなときは，単に \color{red}\{A_n\} とかくこともあります。
可算個は正の整数で番号付けできていますから， A_1, A_2, A_3, のように，一列に並べることができます。このため，この集合族を集合列 (sequence of sets) ということがあります。「数列」は数ですが，それの集合バージョンって感じですね。
一般の集合族
一般の集合族，特に非可算個も含めた集合族は，整数による番号付けは不可能です(→可算集合と非可算集合(可算無限・非可算無限))。
よって，一般の集合 \Lambda を用いて， \color{red} \{A_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda} などのように添え字付けします。このとき，添字集合は \Lambda (ラムダ)です。
添字集合 \Lambda が明らかなときは，単に \color{red} \{A_\lambda \} とかくこともあります。
