位相空間論におけるコルモゴロフ空間，あるいは T_0 空間とは， T_0-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理 (separation axioms) とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。
コルモゴロフ空間について，その定義と具体例をフレシェ空間（ T_1 空間）やハウスドルフ空間（ T_2 空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。
コルモゴロフ空間(T0空間)の定義と同値な性質
定義（コルモゴロフ空間・ T_0 空間）
(X,\mathcal{O}) を位相空間とする。任意の異なる点 x, y\in X に対し，
x\in O_x かつ y \notin O_x となる O_x\in\mathcal{O}
x\notin O_y かつ y \in O_y となる O_y\in\mathcal{O}
のうち，少なくとも一方が存在するとき， (X,\mathcal{O}) はコルモゴロフ空間 (Kolmogorov space) または T_0 空間 ( T_0 space) という。
「少なくとも一方」ではなく， O_x, O_y のどちらも存在するときはフレシェ空間 (Fréchet space) または T_1 空間 ( T_1 space) といいます(→【位相空間】T1空間の定義・具体例と性質)。定義より， \color{red} T_1\implies T_0 です。なお，フレシェ空間という言葉は，関数解析学の文脈では別の意味で使われることがあるため，注意が必要です。
また，さらに，フレシェ空間（ T_1 空間）であって，かつ常に O_x\cap O_y =\emptyset となるような O_x, O_y が取れるとき，ハウスドルフ空間 (Hausdorff space) または T_2 空間 ( T_2 space) といいます。定義より， \color{red} T_2\implies T_1\implies T_0 です。
コルモゴロフ空間（ T_0 空間）でない空間を考えましょう。この空間では，ある異なる2点 x,y\in X が存在して，任意の開集合 O\in\mathcal{O} に対し， x\in O\iff y\in O が成り立つことになります。これは，開集合によって点が分離できない空間といえます。空間上の点が，位相的に識別不可能 (topologically indistinguishable) ということもあります。
逆に，コルモゴロフ空間（ T_0 空間）は，各点が位相的に識別可能 (topologically distinguishable) といいます。
コルモゴロフ空間（ T_0 空間）と同値な性質を紹介します。
定理1（コルモゴロフ空間( T_0 空間)の同値な性質）
(X,\mathcal{O}) を2点以上の点を持つ位相空間とするとき，以下は同値である。
位相空間は「近傍」の概念により，「近さ」の議論ができますが，2つ目が成り立てば，任意の2点の位相的な「近さ」が異なるといっています。これは，位相的に識別可能なことと対応しています。
証明
1. \implies 2.について
x, y\in X を異なる2点とする。X はコルモゴロフ空間（ T_0 空間）なので，ある開集合 O_x\in\mathcal{O} が存在して， x\in O_x,\, y\notin O_x としても一般性を失わない。
このとき， O_x\in\mathcal{N}(x) だが， O_x\notin \mathcal{N}(y) なので，\mathcal{N}(x)\ne\mathcal{N}(y) である。
2.\implies 1.について
x, y\in X を異なる2点とする。近傍系は空集合ではないので，\mathcal{N}(x)\ne\mathcal{N}(y) ならば， N_x\in \mathcal{N}(x)\setminus \mathcal{N}(y) が存在するか，または N_y\in \mathcal{N}(y)\setminus \mathcal{N}(x) が存在する。前者と思ってよい。
このとき，ある開集合 O_x\in\mathcal{O} が存在して， x\in O_x\subset N_x とできる。 y\notin O_x である（もし y\in O_x なら N_x\in\mathcal{N}(y) となってしまう）から，コルモゴロフ空間（ T_0 空間）である。
証明終
コルモゴロフ空間(T0空間)とそうでない例
具体例を見ていきましょう。フレシェ空間（ T_1 空間）やハウスドルフ空間（ T_2 空間）も絡めて見ていきます。
例1(密着空間・離散空間).
X を2元以上の集合とする。
(X, \{\emptyset, X\}) を密着空間とするとき，これは T_0 でも T_1 でも T_2 でもない。
(X, 2^X) を離散空間とするとき，これは T_0, T_1, T_2 である。
密着空間は開集合によって点が分離できず，離散空間は1点集合自身が開集合であるため，全ての点が開集合によって分離できます。
例2( \R).
実数の集合 \R に通常の位相を入れた空間はハウスドルフ空間（ T_2 空間）であるため， T_1, T_0 でもある。
T_2\implies T_1\implies T_0 なので言えますね。
例3(距離空間).
距離空間はハウスドルフ空間（ T_2 空間）であるため， T_1, T_0 でもある。
もっといろいろな例を挙げましょう。
例4.
X=\{a,b,c\},\,\mathcal{O}=\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\} ,X \} とすると，(X,\mathcal{O}) は位相空間である。
この空間は， T_0 であるが T_1 ではない。
a と b は， a\in\{a\},\, b\notin \{a\} とできる， a と c は， a\in\{a\},\, c\notin \{a\} とできる， b と c は， b\in\{a,b\},\,c\notin \{a,b\} とできるので， T_0 です。
一方で， a\notin O,\, b\in O となる O\in \mathcal{O} はないので， T_1 ではありません。
例5(特定点位相).
X を2元以上の集合とし， x\in X とする。
\mathcal{O}=\{ O\subset X\mid x\in O\}\cup\{\emptyset\}
とすると， (X,\mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
x を元に持つ集合全体（と \emptyset ）を開集合族とする位相空間です。たとえば， x\ne a とすると， x\in \{x\},\,a\notin \{x\} だし， a\ne b をともに x と異なるとすると， a\in \{x,a\},\, b\notin \{x,a\} とできるので， T_0 です。
一方で， x\ne a に対し， x\notin O,\, a\in O となる O\in\mathcal{O} は存在しないので， T_1 ではありません。
例6(除外点位相).
X を2元以上の集合とし， x\in X とする。
\mathcal{O}=\{ O\subset X\mid x\notin O\}\cup\{X\}
とすると， (X,\mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
さっきと逆で， x を元に持たない集合全体（と X）を開集合族とする位相空間です。 T_0 であることは確認してみてください。 x\ne a に対し， x\in O,\, a\notin O となる O\in\mathcal{O} は存在しないので， T_1 ではありません。
例7.
\mathcal{O}=\{ (0, x)\mid 0<x\le 1\}\cup\{\emptyset\}
とすると， ((0,1), \mathcal{O}) は位相空間である。この空間は T_0 であるが， T_1 ではない。
0<x<y\le 1 に対し， x\in O,\, y\notin O となる O\in\mathcal{O} は存在しますが，逆に x\notin O,\, y\in O となる O\in\mathcal{O} は存在しませんね。
例8( p 乗可積分空間).
f\colon \R\to \mathbb{C} を 1\le p<\infty 乗可積分関数，すなわち可測でかつ \int_\R | f(x)|^p \, dx<\inftyとする。p 乗可積分関数全体の集合を \mathcal{L}^p とすると， f,g\in\mathcal{L}^p に対し，
\| f-g\|=\left(\int_\R |f(x)-g(x)|^p \, dx\right)^{1/p}
により， \mathcal{L}^p はセミノルム空間(したがって擬距離空間)になる。この空間は T_0 でない。
ただし， f=g, \, \text{a.e.} による同値関係によって同一視した商空間 L^p は， \|\cdot \| がノルムになる(したがって L^p は距離空間になる)ので， T_0,T_1, T_2 である。
\mathcal{L}^p においては， f=g, \, \text{a.e.} となる2つの関数 f,g\in\mathcal{L}^p が位相的に識別不可能なので， T_0 ではありません。（a.e.の意味はほとんどいたるところ(almost everywhere, a.e.)の議論を参照）
一般に，ノルム空間から \| x\| = 0\implies x=0 を除いたセミノルム空間や，距離空間の定義から d(x,y)=0\implies x=y を除いた擬距離空間は， T_0 にはなりません。
コルモゴロフ空間(T0空間)の性質
ある位相空間が T_0, T_1, T_2 なら，その部分空間も T_0, T_1, T_2 だし，直積空間もそうです。
定理2（分離公理と部分空間・直積）
