距離空間とは，距離の構造にあたる「距離関数」を備えた集合のことです。「距離」は日常的によく使われる言葉ですが，抽象的な数学の上でも考えられるよう，かなり一般化されて定義されます。そんな距離空間について確認し，具体例を確認していきましょう。
距離関数・距離空間の定義
定義（距離関数・距離空間）
X を空でない集合とする。関数 d\colon X \times X \to [0, \infty) が以下の性質をみたすとき，距離関数 (distance function) という。
- d(x, y) = 0 \Longleftrightarrow x = y,
- d(x, y) = d(y, x),
- d(x,z) \le d(x, y) + d(y, z). （三角不等式）
このとき， (X, d) ，または単に X は距離空間 (metric space) であるという。
3つの項目の前に書きましたが， d(x, y) \ge 0 であることにも注意してください。
このように定めると，現実世界における「物と物との距離」の感覚と矛盾しないことが分かります。実際に具体例を確認してみましょう。
距離空間の具体例
例1.（平面におけるユークリッド距離；L^2 距離）
\mathbb{R}^2 = \{ (x_1, x_2) \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R} \} は， \boldsymbol{x} = (x_1,x_2), \boldsymbol{y} = (y_1, y_2) に対し，
\textcolor{red}{d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}}
と定めることで，距離空間になる。この距離をユークリッド距離 (Euclidean distance) または L^2 距離という。
高校までにおいて，「平面における2点間の距離」は，三平方の定理を使ってこのように定義したと思います。これは一般的な距離で，ユークリッド距離と呼ばれます。距離の定義をみたすか確認していきましょう。
d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} と d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = d(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) が成立することはほぼ明らかでしょう。三角不等式については， \boldsymbol{x} = (x_1, x_2), \boldsymbol{y} = (y_1,y_2), \boldsymbol{z} = (z_1, z_2) に対し， a_i = x_i - y_i, b_i = y_i - z_i とおくと，
\begin{aligned} &d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})^2\\ &= (a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 \\ &= (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2(a_1b_1+a_2b_2) \\ &\le (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)} \\ &= \left(\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\right)^2 \\ &= (d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) + d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}))^2 \end{aligned}であることからわかります。ただし，不等式の部分は，コーシーシュワルツの不等式を用いました。
以上から， d は距離関数になっており，確かに距離空間であることが分かりました。
例2.（平面におけるマンハッタン距離；L^1 距離）
\mathbb{R}^2 = \{ (x_1, x_2) \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R} \} は， \boldsymbol{x} = (x_1,x_2), \boldsymbol{y} = (y_1, y_2) に対し，
\textcolor{red}{d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|}
と定めることで，距離空間になる。この距離をマンハッタン距離 (Manhattan distance) または L^1 距離という。
空間は同じですが，距離の入り方が違うことに注意しましょう。
たとえば， O(0, 0) , A(3, 4) の距離は，ユークリッド距離の場合は \sqrt{3^2 + 4^2} =5 ですが，マンハッタン距離の場合は |3| + |4| = 7 になります。
マンハッタン距離は，よく「京都の碁盤の目のような距離」と言われます。広大な野原の場合，2点を移動するのには直線で行けるため，ユークリッド距離が有用でしょう。一方で，碁盤の目のような地形の場合，直線では行けませんから，マンハッタン距離の方が有用だと言えます。
以下の図で，緑がユークリッド距離，赤がマンハッタン距離の行き方を模式的に表しています。
では，距離の定義をみたすか確認していきましょう。まず， d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} と d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = d(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) が成立することはほぼ明らかでしょう。三角不等式については， \boldsymbol{x} = (x_1, x_2), \boldsymbol{y} = (y_1,y_2), \boldsymbol{z} = (z_1, z_2) に対し， a_i = x_i - y_i, b_i = y_i - z_i とおくと，
\begin{aligned} &d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})\\ &= |a_1+b_1| + |a_2+b_2| \\ &\le |a_1|+|b_1| + |a_2| + |b_2| \\ &= d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) + d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) \end{aligned}であることから，結局距離空間であることが分かりました。
他の例も挙げましょう。
例3.（n次元空間上のユークリッド距離とマンハッタン距離）
\mathbb{R}^n = \{ (x_1,\ldots, x_n) \mid x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \} は， \boldsymbol{x} = (x_1,\ldots, x_n), \boldsymbol{y} = (y_1, \ldots, y_n) に対し，
\textcolor{red}{d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k - y_k)^2} }
と定めると，これは距離空間となる。これをユークリッド距離（ L^2 距離）という。
また，
\textcolor{red}{d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sum_{k=1}^n |x_k-y_k|}
と定めると，これも距離空間となる。これをマンハッタン距離（L^1 距離）という。
平面の場合の一般化ですね。距離空間であることの確認は，ほぼ同様なので省略します。
その他の例も挙げてみましょう。
例4.（チェビシェフ距離；L^\infty 距離）
\mathbb{R}^n = \{ (x_1,\ldots, x_n) \mid x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \} は， \boldsymbol{x} = (x_1,\ldots, x_n), \boldsymbol{y} = (y_1, \ldots, y_n) に対し，
\textcolor{red}{d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \max_{1 \le k \le n} |x_k - y_k|}
と定めると，これは距離空間となる。
例5.（連続関数の最大値； L^\infty 距離）
[0,1] 上の連続関数の集合 C[0,1] = \{ f\colon [0,1] \to \mathbb{R} \mid f \text { is continuous} \} は， f, g \in C[0,1] に対し，
\textcolor{red}{d(f, g) = \sup_{0 \le x \le 1} |f(x) - g(x)| }
と定めることで距離空間となる。
例4と例5の証明は演習問題としましょう。
例6.（連続関数の積分；L^p 距離）
p \ge 1 とする。このとき， [0,1] 上の連続関数の集合 C[0,1] = \{ f\colon [0,1] \to \mathbb{R} \mid f \text { is continuous} \} は， f, g \in C[0,1] に対し，
\color{red} d(f, g) = \left(\int_0^1 |f(x) - g(x)|^p dx \right)^{1/p}
と定めることで距離空間となる（L^p 距離）。
この例は関数解析学において非常に重要ですが，これが距離空間になることを証明するのはかなり難しいため，そういうものだと思ってください。
他，離散距離も基本的かつ有名です。以下で解説しています。
さいごに
数学における「距離空間」の定義について確認しました。
距離空間の距離という「尺度」を用いて，主に極限や連続性といった解析的な話ができるようになります。大学数学においては必須の概念ですので，しっかり抑えておきましょう。
