1/nlogn型の級数の収束・発散

$\sum_{n=1}^\infty 1/n^p$ における収束・発散について， $0<p\le 1$ で発散し， $p > 1$ で収束することは有名でしょう。これと同じようなことが， $\sum_{n=2}^\infty 1/(n(\log n)^p)$ についても成り立ちます。

これについて，その定理の主張と証明を確認していきましょう。

定理（ $1/n\log n$ 型の級数の収束・発散）

\color{red}\boldsymbol{ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^p } }

は，

する。

定理としては非常にシンプルですね。 $n \log n$ 分の $1$ を境に，収束・発散が変わるのです。

早速証明していきましょう。

1/nlogn型の級数の収束・発散の証明

証明には， $1/n^p$ の収束・発散を論じたときにも用いた，広義積分による収束判定法を使います。この収束判定法について詳しくは，以下の記事を参照してください。

これを踏まえて，証明を確認していきましょう。

証明

広義積分による収束判定法により，求める級数の収束・発散は， $\int_2^\infty 1/(x(\log x)^p )\, dx$ の収束・発散に一致する。

\begin{aligned}\int_2^\infty \frac{1}{x(\log x)^p }\, dx &=\begin{cases} \left[ \frac{(\log x)^{1-p}}{1-p} \right]_2^\infty & p \ne 1, \\ [\log \log x]_2^\infty & p =1 \end{cases} \\ & \begin{cases} = \infty & 0\le p\le 1, \\ <\infty &p > 1. \end{cases}\end{aligned}

であるから，結論が示せた。

証明終

$\int_2^\infty 1/(x(\log x)^p )\, dx$ の積分が分かるかどうかが鍵でしたね。

なお，この収束・発散については，積分を用いずとも，Cauchy Condensation Test を用いて求めることも可能です。以下で解説しています。