ビュフォンの針とは，針を落として，等間隔に並んだ線と交わる確率を求めるという話です。円が全く絡んでいないにもかかわらず，確率に円周率 \pi が出てくるため，不思議に思われることが多いです。
ビュフォンの針について，その確率を数学的に導出しましょう。
ビュフォンの針
定理（ビュフォンの針: Buffon’s needle）
下図のように，長さ l の針を間隔 d の線に落とすと，針が線と交差する確率は
\small \color{red}\!\!\!\! \!\!\! \begin{dcases} \boldsymbol{\frac{2l}{\pi d}} & \text{if } l\le d, \\ \boldsymbol{ 1\! -\! \frac{2l}{\pi d}\left( \frac{d}{l}\sin^{-1}\frac{d}{l}\! +\!\sqrt{1\! - \! \frac{d^2}{l^2}}\! -\! 1\right)} & \text{if }d< l\end{dcases}
となる。
たとえば上の図の場合，針7本のうち，線と交差しているのは4本ですね。このように，線と針は交差する場合と交差しない場合がありますが，その確率は上のように書けるというわけです。
さて，ここで針は線の上に無作為に落とします。無作為とは，針の位置・角度がそれぞれ一様分布に従っているということです。
針の角度と，線と平行な向きの反時計回りに測った角度を 0\le \theta \le \pi としましょう。このとき以下の図から，線と交わる確率 p(\theta) は \color{red}p(\theta)=\min\left\{ \dfrac{l\sin\theta}{d}, 1\right\} ，すなわち， \dfrac{l\sin\theta}{d} と 1 の小さい方だと分かります。
実際の針は，角度が 0\le \theta\le \pi の範囲を動きますから， p(\theta) をこの範囲で積分して，全体の面積 \int_0^\pi 1\, dx=\pi で割り算してあげればよいというわけです。
ビュフォンの針の証明
上の図を踏まえて，証明していきます。求める確率は，以下の図における灰色全体（うすい灰色＋濃い灰色）の面積における，濃い灰色の面積の割合です。
証明
l\le d のとき
うすい灰色全体の面積は \pi なのに対して，濃い灰色の部分の面積は
\int_0^\pi \frac{l}{d} \sin \theta\, \mathrm{d}\theta = \left[-\frac{l}{d}\cos\theta\right]_0^\pi =\frac{2l}{d}
であるから，灰色全体に対して，濃い灰色の部分の割合は， \dfrac{2l}{\pi d} である。
d< l のとき
\theta_0=\sin^{-1} \dfrac{d}{l} と定める。すなわち， 0\le \theta_0\le \pi/2 を \sin \theta_0=d/l をみたすものとして定める。
このとき，濃い灰色の面積について， \theta=\pi/2 に関する対称性を利用すると，
\begin{aligned}&2\left\{\int_0^{\theta_0}\frac{l}{d}\sin \theta \mathrm{d}\theta + \left(\frac{\pi}{2}-\theta_0\right)\right\} \\ &= \left[ -\frac{2l}{d}\cos\theta\right]_0^{\theta_0} +2 \left(\frac{\pi}{2}-\theta_0\right) \\ &= \frac{2l}{d} (1-\cos\theta_0) +\pi -2\theta_0 \end{aligned}
ここで， \cos\theta_0=\sqrt{1-\sin^2\theta_0}= \sqrt{1-\dfrac{d^2}{l^2}} も踏まえると，
なので，灰色全体に対して濃い灰色の割合は
である。
証明終
ビュフォンの針を用いた円周率の近似
簡単のため， l=d としましょう。すなわち，針の長さが線の間隔と等しいとします。すると，針を落としたときに線の交わる確率は \dfrac{2}{\pi} になります。
実際に針を N 本落として， M 本が線と交わったとしましょう。このとき，おおよそ
\frac{M}{N}\approx \frac{2}{\pi}
すなわち
と近似できるわけです。この手法を用いれば，円周率 \pi を求めることができそうですね。実際のところは，この近似手法は近似の精度が良くない（精度よく近似するためには，ものすごい数の針を投げなければならない）ため，使われることは少ないです。
