同次式(斉次式)とは

同次式（どうじしき）あるいは斉次式（せいじしき）とは，(多変数)多項式において，全ての項の次数が等しいようなものを言います。

同次式(斉次式)について，定義と具体例，性質をまとめます。

同次式(斉次式)の定義と具体例
同次式(斉次式)の性質
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同次式(斉次式)の定義と具体例

定義（同次式・斉次式）

全ての項の次数が等しい多項式を同次式（どうじしき；同次多項式）あるいは斉次式（せいじしき；斉次多項式；homogeneous polynomial）という。

例を見た方が分かりやすいと思うので確認しましょう。

同次式(斉次式)の例

$x^2+5xy+2y^2$ (2変数2次)
$x^2+2y^2+z^2+3xy-5xz$ (3変数2次)
$x^4+3z^4-3x^2y^2+2yz^3-xy^2z-xyz^2$ (3変数4次)
$xy$ (2変数2次)

同次式(斉次式)でない例

$x^2-2y$
$x^3-3y^2+2x$
$x^2+2xy+y^2+1$

たとえば， $x^2+5xy+2y^2$ は， $x^2, 5xy, 2y^2$ の全てが2次式ですから，同次式(斉次式)です。また， $xy$ のように一つの項しかないものも，ある意味同次式(斉次式)ですね。また，1変数の斉次式は常に $ax^n$ のように1項になります。

一方で， $x^2-2y$ は $x^2$ が2次で， $- 2y$ は1次式なので，同次式(斉次式)ではありません。

たとえば，2変数 $x,y$ に対する1次の同次式(斉次式)は $(a,b)\ne (0,0)$ となる変数 $a,b$ を用いて，

ax+by

の形をしています。その他，同次式(斉次式)は以下の形をしています(ただし， $a,b,c,\dots$ は「全て $0$ 」ではない)。

$ax+by$ (2変数1次)
$ax^2+bxy+cy^2$ (2変数2次)
$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3$ (2変数3次)
$ax+by+cz$ (3変数1次)
$ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx$ (3変数2次)
$ax^3+by^3+cz^3 +dx^2y+exy^2 +f y^2z +gyz^2+hx^2z+ixz^2+jxyz$ (3変数3次)

一般に， $m$ 変数の $n$ 次の斉次多項式は

\color{red}\sum_{n_1+n_2+\dots+ n_m=n} a_{n_1,n_2,\dots, n_m} x^{n_1}_1 x^{n_2}_2\dots x^{n_m}_m

と表すことができます(ただし，係数 $a_{n_1,n_2,\dots, n_m}$ のうち少なくとも一つは「 $0$ でない」)。全ての係数が $0$ でないとき，この項数は $n_1+n_2+\dots +n_m=n$ をみたす非負整数の組 $(n_1, n_2, \dots, n_m)$ の数と同じですから， $_{n+m-1}\mathrm{C}_{m-1} = \dfrac{(n+m-1)!}{n!(m-1)!}$ 項になります。