ヒルベルト空間において非常に基本的な定理である射影定理 (projection theorem) について，その定理の主張と証明を行いましょう。
ヒルベルト空間における射影定理
実あるいは複素ヒルベルト空間 H に対して，A\subset H が凸集合 (convex set) であるとは，
\color{red}x,y\in A\implies tx+(1-t)y\in A\quad(0\le t\le 1)
を意味します(→凸集合とは何かをわかりやすく～定義と性質～)。このことを踏まえて，定理を述べましょう。
定理1 (射影定理)
H をヒルベルト空間とし， A\subset H を空でない閉凸集合とする。このとき，任意の x\in X に対して，
\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|
となる y\in A が唯一つ存在する。また， A が閉部分空間ならば， x-y\perp A である。
x\in A なら，単に y=x とすればよいです。
x-y\perp A とは，\forall a\in A, \langle x-y, a\rangle =0 の意味です。
閉部分空間は明らかに閉凸集合ですから，定理1の「閉凸集合」の部分は「閉部分空間」にしても成立します。x = y+(x-y) であり，y\perp x-y ですから，さらに以下の定理が成立します。
定理2（射影定理2）
H をヒルベルト空間， L\subset H をその閉部分空間とする。また，
L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}
を L の直交補空間とする。このとき，任意の x\in H に対し，
となる y,z が唯一つ存在する。特に，\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp} である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。
直交補空間については，以下の記事でも掘り下げています。
定理1と2はどちらも射影定理と言われます。
射影定理の証明
さて，早速証明しましょう。
H をヒルベルト空間とし， A\subset H を空でない閉凸集合とする。このとき，任意の x\in X に対して，
\color{red} \Large\|x-y\| =\inf_{a\in A} \|x-a\|
となる y\in A が唯一つ存在する。また， A が閉部分空間ならば， x-y\perp A である
- y の存在性について
- y の一意性について
- A が閉部分空間のとき x-y\perp A について
に分けて証明していきましょう。どれもある程度テクニカルであり，証明も大事ですが，結果を身につけることがとても大切です。
定理1の証明
1. y の存在性について
\inf_{a\in A} \|x-a\|=\alpha とおく。下限(inf)の定義より， \{y_n\}\subset A で， \lim_{n\to\infty}\|x-y_n\| =\alpha となるものが存在する。中線定理も用いることで，
\begin{aligned} &\|y_m-y_n\|^2 \\&= \|(y_m-x)-(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad-\|(y_m-x)+(y_n-x)\|^2 \\ &=2(\|y_m-x\|^2+\|y_n-x\|^2)\\ &\qquad\qquad\quad-4\left\|\frac{y_m+y_n}{2}-x\right\|^2 \\ \end{aligned}
である。 A は凸より， \frac{y_m+y_n}{2}\in A である。ゆえに \alpha の定義より， |\frac{y_m+y_n}{2}-x\| \ge \alpha である。したがって，
となり， \{y_n\} はコーシー列である。ゆえに y_n\xrightarrow{n\to\infty} y\in H が存在し， A は閉より， y\in A である。ここで，
より， \|x-y\|=\alpha である。以上から存在性が示せた。
2. y の一意性について
y_1,y_2\in A が \|x-y_1\| = \|x-y_2\| = \alpha をみたすとする。中線定理より，
\hspace{-10pt}\begin{aligned}&\| (x-y_1)+(x-y_2)\|^2+\| (x-y_1)-(x-y_2)\|^2 \\&=2(\|x-y_1\|^2 +\|x-y_2\|^2) . \end{aligned}
言い換えると，
A は凸より， \frac{y_1+y_2}{2}\in A なので， \alpha の定義より， \| x-\frac{y_1+y_2}{2}\|\ge \alpha である。よって，上式は
したがって， y_1=y_2 となって，一意性が示せた。
3. A が閉部分空間のとき x-y\perp A について
z=x-y と略記する。 a\in A とし，さらに \rho = \langle z, a\rangle とする。 \rho=0 を示せばよい。 t\in \mathbb{C} について， t\rho a\in A である。 \varphi(t)=\|z-t\rho a\| と定めると，\|x-y\| の最小性より， \varphi(0)\le \varphi(t) である。 一方で， t\in \R なら，
\|z-t\rho a\|^2= \|z\|^2-2|\rho|^2t+|\rho|^2\|a\|^2t^2
となるため， \rho=0 でなければ \varphi(0)\le \varphi(t) に矛盾する。
証明終
H をヒルベルト空間， L\subset H をその閉部分空間とする。また，
L^\perp=\{ x\in H\mid \langle x,y\rangle =0,\, \forall y\in L\}
を L の直交補空間とする。このとき，任意の x\in H に対し，
となる y,z が唯一つ存在する。特に，\large\color{red} H= L\oplus L^{\perp} である(→ベクトル空間の和・直和の定義)。
定理2の証明
存在性については，定理1より明らか。
一意性について
x=y_1+z_1=y_2+z_2,\;\; y_1,y_2\in L,\, z_1,z_2\in L^\perp とする。このとき， y_1-y_2=z_2-z_1 \in L\cap L^\perp = \{0\} であるから， y_1=y_2,\, z_1=z_2 となり，一意である。
証明終
一意性の証明は，ベクトル空間の和・直和の定義とその次元の等式の証明での証明と同じで，一般のベクトル空間でも成立します。
