一様可積分性とヴィタリの収束定理

一様可積分性は，とくに有限測度( $\mu(X)<\infty$ )のときに有用です。ここでは，一様可積分性の定義と，一様可積分のときに用いることのできる「ヴィタリの収束定理」について解説していきましょう。

一様可積分性
1. 一様可積分性の定義
2. 一様可積分性の同値な定義
ヴィタリの収束定理
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参考

一様可積分性

可測関数 $f$ が可積分 (integrable) であるとは， $\int |f|\,d\mu<\infty$ が成立することでした。

一様可積分性の定義

定義（一様可積分）

可積分関数列 $\{f_n\}$ が一様可積分 (uniformly integrable) であるとは，

\color{red}\lim_{\lambda\to\infty} \sup_{n\ge 1} \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}} |f_n| \,d\mu=0

が成り立つことを言う。

一様可積分は，特に有限測度( $\mu(X)<\infty$ )のときに大事な概念であり，確率論でもよく使われます。

一様可積分は，任意の $\varepsilon>0$ に対して，ある $\delta>0$ が存在して，

\color{red}\begin{equation} \mu(A)<\delta \implies \left|\int_A f_n\,d\mu\right|<\varepsilon\;(n\ge 1) \end{equation}

と定義することもあります。この定義は上の定義より少し緩いです。実際， $\mu(X)<\infty$ のとき，以下の同値が知られています。

一様可積分性の同値な定義

定理1（一様可積分性の同値な定義）

$\color{red} \mu(X)<\infty$ であるとき，可測関数列 $\{f_n\}$ に関して以下は同値。

$\{f_n\}$ は一様可積分
上式 $(1)$ かつ $\begin{equation}\sup_{n\ge 1} \int |f_n|\,d\mu<\infty \end{equation}$ が成立。

$(1)$ 式だけでは，元の定義と同値になりません。実際， $f_n =n1_{\{0\}}$ で， $\mu=\delta_0$ (デルタ測度) とすると， $(1)$ 式は満たしますが，元の定義は満たしません。

証明

1. $\implies$ 2.について

$\lambda>0$ が十分大きいとき，1.より $\sup_n\int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}|f_n|\,d\mu<\infty$ である(左辺を $M_\lambda$ とする)。

\begin{aligned}&\sup_n \int |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int_{\{|f_n|<\lambda\}} |f_n|\,d\mu+ \sup_n\int_{\{|f_n|\ge\lambda\}} |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int\lambda\,d\mu + M_\lambda\\ &\le \lambda\mu(X)+M_\lambda<\infty \end{aligned}

より， $(2)$ 式を得る。また， $\varepsilon>0$ に対して， $\sup_n \int_{\{f_n\ge \lambda\}} |f_n|\,d\mu<\varepsilon$ をみたす $\lambda$ を取ると， $\mu(A)<\varepsilon/\lambda$ に対して，

\begin{aligned}& \sup_n \left|\int_A f_n\,d\mu\right| \\ &\le\sup_n \int_A |f_n|\,d\mu \\ &\le \sup_n \int_{A\cap \{|f_n|\ge \lambda\}}\!\!\!\!\!\! |f_n|\,d\mu + \sup_n \int_{A\cap \{|f_n|<\lambda\}} \!\!\!\!\!\!|f_n|\,d\mu \\ &\le \varepsilon + \lambda \mu(A) \le 2\varepsilon \end{aligned}

より， $(1)$ 式を得る。

2. $\implies$ 1.について

$(2)$ 式より， $M=\sup_n\int |f_n|\,d\mu<\infty$ とする。 $\lambda >0$ に対し，

\begin{aligned}\lambda\mu(|f_n|\ge \lambda) &=\lambda \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}\,d\mu \\ &\le \int_{\{|f_n|\ge \lambda\}}|f_n|\,d\mu \le M \end{aligned}

より， $\mu(|f_n|\ge \lambda) \le M/\lambda$ である(マルコフの不等式)。 $(1)$ 式より $M/\lambda<\delta$ とすると，特に $\mu( \{|f_n|\ge \lambda \} \cap \{f_n\ge 0\})<\delta$ ， $\mu( \{|f_n|\ge \lambda \} \cap \{f_n< 0\})<\delta$ であるから，

\begin{aligned} &\sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}} |f_n| \,d\mu\\ &\le \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! |f_n| \,d\mu + \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \} \cap\{ f_n < 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! |f_n| \,d\mu \\ &= \sup_n \left| \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\! f_n \,d\mu \right| +\sup_n \left| \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n < 0\} } \!\!\!\! \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! f_n \,d\mu \right| \\ &\le \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon . \end{aligned}

これは， $\lim_{\lambda\to\infty} \sup_n \int_{\{ |f_n|\ge \lambda \}\cap\{ f_n \ge 0\} } |f_n| \,d\mu =0$ を意味する。

証明終

ヴィタリの収束定理

定理2（ヴィタリの収束定理; Vitali convergence theorem）

$(X,\mathcal{F},\mu)$ を測度空間， $\color{red} \mu(X)<\infty$ とする。 $\{f_n\}$ は一様可積分で， $f_n \xrightarrow {n\to\infty} f$ であるとき， $f$ は可積分で，

\color{red} \lim_{n\to\infty} \int |f_n-f| \,d\mu = 0

である。特に，

\color{red} \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu

が言える。

$f_n \xrightarrow {n\to\infty} f$ は $\mu\text{-a.e.}$ で構いません。

なお， $\mu(X)<\infty$ の下で，ヴィタリの収束定理は，ルベーグの収束定理(DCT)より仮定が弱いです。実際， $|f_n|\le F$ となる可積分関数 $F$ が存在するとすると，

\begin{aligned}\sup_n \int_{|f_n|\ge \lambda} |f_n|\,d\mu &\le \int_{|F|\ge \lambda} |F|\,d\mu \\ &\xrightarrow[\text{DCT}]{\lambda\to\infty} 0\end{aligned}

より， $\{f_n\}$ は自動的に一様可積分になりますね。

証明

Fatouの補題と定理1より， $\int |f|\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty} \int |f_n|\,d\mu\le\sup_n \int|f_n|\,d\mu<\infty$ であるから， $f$ は可積分である。

$\{f_n-f\}$ が一様可積分であることは，定理1を考えればわかる。 $\varepsilon>0$ とする。 $\lambda>0$ を十分大きくとることで， $\sup_n\int_{\{|f_n-f|\ge \lambda\}}|f_n-f|\,d\mu<\varepsilon$ とする。すると，

\begin{aligned}&\int |f_n-f|\,d\mu \\ &\le \int_{\{|f_n-f|\ge \lambda\}}\!\!\!\!\!\!|f_n-f|\,d\mu + \int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}\!\!\!\!\!\!|f_n-f|\,d\mu \\ &\le \varepsilon + \int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}|f_n-f|\,d\mu. \end{aligned}

ここで， $|f_n-f|1_{\{|f_n-f|<\lambda\}}\le \lambda$ であり，右辺は可積分であるから，ルベーグの収束定理(有界収束定理)より， $n$ を十分大きくとると， $\int_{\{|f_n-f|<\lambda\}}|f_n-f|\,d\mu<\varepsilon$ とできる。したがって，十分大きな $n$ に対し，

\int |f_n-f|\,d\mu \le \varepsilon+\varepsilon =2\varepsilon

であり，これより $\lim_{n\to\infty}|f_n-f|\,d\mu =0$ を得る。後半は明らか(分からなければルベーグの収束定理の証明の最終行の式を見よ)。

証明終

なお，定理2は逆も知られています。具体的には， $\{f_n\},f$ が可積分で， $f_n\xrightarrow{n\to\infty}f$ かつ $\lim_{n\to\infty} \int |f_n-f| \,d\mu = 0$ ならば， $\{f_n\}$ は一様可積分です。証明は省略します。

一様可積分性

一様可積分性の定義

一様可積分性の同値な定義

ヴィタリの収束定理

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