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ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~

微分積分学(大学)
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ベータ関数とは, B(x,y) =\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt と定義される特殊関数です。これについて,その定義と性質とその証明を行いましょう。

ベータ関数の定義

\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 の複素数の範囲で定義しますが,複素関数が分からない場合は,単に x,y>0 と思って全く差し支えありません。

定義(ベータ関数)

\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 とする。

\color{red} B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt


ベータ関数 (beta function) という。

ベータ関数の積分が収束することは, |t^z|= |e^{z\log t}| = e^{\operatorname{Re} (z)\log t} = t^{\operatorname{Re} z} に注意すると, \operatorname{Re} x - 1 >-1 ,\; \operatorname{Re} y-1>-1 であるから,

\small\begin{aligned}&\left|\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt\right| \\ &\le \int_0^1 |t^{x-1} (1-t)^{y-1}|\, dt \\ &\le \int_0^{1/2} \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}} t^{\operatorname{Re}x-1}\, dt + \int_{1/2}^1 \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}} (1-t)^{\operatorname{Re}y-1}\, dt \\ &\le \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}} \int_0^1 t^{\operatorname{Re}x-1}\, dt + \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}} \int_0^1 t^{\operatorname{Re}y-1}\, dt \\ &\le \frac{1}{2^{\operatorname{Re}y-1}\operatorname{Re}x} + \frac{1}{2^{\operatorname{Re}x-1}\operatorname{Re}y} <\infty \end{aligned}


となるため,分かりますね。

ベータ関数の性質8つ

定理(ベータ関数の性質)

\operatorname{Re} x, \,\operatorname{Re} y > 0 とする。このとき,

  1. B(x,y) = B(y,x).
  2. xB(x,y+1) = yB(x+1,y).
  3. B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1) .
  4. (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y).
  5. (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y).
  6. B(x,y) =\displaystyle 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1}\theta\, d\theta.
  7. B(x,y) =\displaystyle \dfrac{1}{2^{x+y-1}}\int_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt.
  8. B(1,x) = B(x,1) = \dfrac{1}{x}.

それぞれ証明していきましょう。

1. B(x,y) = B(y,x)

証明

u=1-t と置換積分すると,

\begin{aligned} B(x,y)&=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt \\ &= \int_0^1 (1-u)^{x-1}u^{y-1}\, du \\ &= B(y,x). \end{aligned}

証明終

2. xB(x,y+1) = yB(x+1,y)

証明

部分積分公式より,

\begin{aligned} &xB(x, y+1) \\ &= x\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}\, dt \\ &= \left[ t^x (1-t)^y \right]_0^1 + y \int_0^1 t^{x} (1-t)^{y-1}\, dt \\ &= y B(x+1,y). \end{aligned}

証明終

3. B(x,y) = B(x+1,y) + B(x,y+1)

証明

ベータ関数の定義式より,

\begin{aligned}&B(x,y+1)\\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^y \,dt \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}(1-t) \,dt \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \,dt - \int_0^1 t^{x}(1-t)^{y-1}\,dt \\ &= B(x,y)-B(x+1,y) \end{aligned}


であるから,移項して B(x,y) = B(x,y+1)+B(x+1,y) .

証明終

4. (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y)

証明

3.を適用してから2.を使うことで,

\begin{aligned} B(x,y) &= B(x,y+1)+B(x+1,y) \\ &= \frac{y}{x}B(x+1,y) + B(x+1,y) \\ &= \frac{x+y}{x} B(x+1,y). \end{aligned}


よって, (x+y)B(x+1,y) = xB(x,y) .

証明終

5. (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y)

証明

3.を適用してから2.を使うことで,

\begin{aligned} B(x,y) &= B(x,y+1)+B(x+1,y) \\ &= B(x,y+1) +\frac{x}{y} B(x,y+1) \\ &= \frac{x+y}{y} B(x+1,y). \end{aligned}


よって, (x+y)B(x,y+1) = yB(x,y) .

証明終

6. B(x,y) = 2∫_0^{π/2} sin^{2x-1} Θ cos^{2y-1}Θ dΘ

証明

t=\sin^2 \theta とおくと, 1-t = \cos^2 \theta であり,

\begin{aligned} &B(x,y) \\ &= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \sin^{2x-2}\theta \cos^{2y-2}\theta \,\, 2\sin\theta\cos\theta d\theta \\ &= 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1} \theta \cos^{2y-1}\theta\, d\theta. \end{aligned}

証明終

7. B(x,y) = 1/2^{x+y-1}∫_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1} dt

証明

ベータ関数の定義式より,

B(x,y) = \int_0^1u^{x-1}(1-u)^{y-1}\, du.


t=2u-1 と置換積分すると,

\begin{aligned}&\int_0^1u^{x-1}(1-u)^{y-1}\, du \\ &= \int_{-1}^1 \left(\frac{1+t}{2}\right)^{x-1} \left(\frac{1-t}{2}\right)^{y-1}\, \frac{dt}{2} \\ &= \dfrac{1}{2^{x+y-1}}\int_{-1}^1 (1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt.\end{aligned}

証明終

8. B(1,x) = B(x,1) = 1/x

証明

前半の等式は1.からわかる。後半の等式については,ベータ関数の定義より,

\begin{aligned} B(x,1) &= \int_0^1 t^{x-1}\, dt = \left[\frac{t^x}{x}\right]_0^1 = \frac{1}{x}\end{aligned}


よりわかる。

証明終

ベータ関数とガンマ関数の関係

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\, dt \quad (\operatorname{Re}z>0)


をガンマ関数としましょう(→ ガンマ関数とは~定義と性質をわかりやすく~)。このとき,ベータ関数とガンマ関数の間には,以下の関係があります。

\color{red} B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.


これは,以下で解説しています。


これを踏まえると,ガンマ関数の値を用いることで,

\begin{aligned} &B(m,n ) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!} ,\quad m,n \in\mathbb{Z}_{\ge 1},\\ &B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi, \\ &B(x, 1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}, \quad x\notin\mathbb{Z}. \end{aligned}


等も分かります。