複素数版のガウス積分とその導出証明

ガウス積分の指数部分を複素数に拡張したものは， $\operatorname{Re} \alpha > 0,\, \beta \in \mathbb{C}$ に対して，

\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}

となります。これについて，その導出を行いましょう。

複素数版のガウス積分
複素数版のガウス積分の導出
1. 1. bを複素数βに拡張する証明
2. 2. aを複素数αにする証明
フレネル積分
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複素数版のガウス積分

実数版のガウス積分は $a>0,\,b\in\mathbb{R}$ に対して

\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-b)^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

です。これは以下で解説しています。

これを複素数に拡張したものが，次の定理です。

定理（複素ガウス積分）

$\operatorname{Re} \alpha > 0,\, \beta \in \mathbb{C}$ に対して，

\large\color{red}\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}

が成り立つ。

複素ガウス積分には身近な応用があります。正規分布の特性関数の計算には，複素ガウス積分を用いる必要があります。

正規分布の特性関数については，以下の記事で解説しています。

複素数版のガウス積分の導出

早速導出していきましょう。

\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-b)^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},\quad a>0,\,b\in\mathbb{R}

について，

まず $b\in\mathbb{R}$ を $\beta\in\mathbb{C}$ に拡張し，
それから $a>0$ を $\beta \in \{ \operatorname{Re} \beta>0\}$ に拡張

するかたちで証明します。

1. bを複素数βに拡張する証明

さて，まずは $(x-b)^2$ の $b\in\mathbb{R}$ を $(x-\beta)^2\;(\beta\in\mathbb{C})$ に拡張しましょう。経路積分の議論を用います。

証明

積分のシフトにより， $b\in\mathbb{R}$ に対して，

\int_{-\infty+ib}^{\infty+ib} e^{-az^2}\,dz = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

を示せばよい。 $R_1,R_2>0$ とし，下のような経路 $C$ で周回積分すると， $\int_C e^{-az^2}\,dz =0$ である。

よって，

\small \!\!\left(\int_{-R_2+ib}^{R_1+ib} \!+\! \int_{R_1+ib}^{R_1}\!+\! \int_{R_1}^{-R_2}\! +\!\int_{-R_2}^{-R_2+ib} \right)e^{-az^2}\,dz =0.

ここで，

\begin{aligned} \left| \int_{R_1+ib}^{R_1} e^{-az^2}\,dz \right| &\le |b| e^{-a(R_1^2-b^2)} \xrightarrow{R_1\to\infty}0 \end{aligned}

であり，同様に

\begin{aligned} \left| \int_{-R_2}^{-R_2+ib} e^{-az^2}\,dz \right| &\le |b| e^{-a(R_2^2-b^2)} \xrightarrow{R_2\to\infty}0 \end{aligned}

であるから，等式で $R_1,R_2\to\infty$ とすることで，

\int_{-\infty+ib}^{\infty+ib} e^{-az^2}\,dz =\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}

がわかる。

証明終

これで，無事に $a>0, \, \beta\in\mathbb{C}$ に対して

\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation*}

が証明できたことになりますね。

2. aを複素数αにする証明

$a>0, \, \beta\in\mathbb{C}$ のときに証明した

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty e^{-a(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation}

の両辺を， $\operatorname{Re}\alpha>0$ に解析接続する形で証明しましょう。

証明

積分のシフトにより， $\beta = -ib\;(b\in\mathbb{R})$ (純虚数または $0$ )と思ってもよい。

$\alpha \mapsto \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha (x+ib)^2}\,dx$ が， $\operatorname{Re}\alpha>0$ 上解析的(正則)であることを示そう。右辺を $f(\alpha)$ とおくと， $|h|<\min\{ \operatorname{Re} \alpha, |\operatorname{Im} \alpha|\}/2$ をみたす $h\in\mathbb{C}$ に対して，

\begin{equation}\begin{aligned} &\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}\\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h}\,dx. \end{aligned}\end{equation}

このとき，被積分関数について，

\begin{aligned}&\left| \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h} \right| \\ &=\left| \frac{\int_{\alpha}^{\alpha+h} (x+ib)^2 e^{-y(x+ib)^2}\,dy}{h} \right|. \end{aligned}

ここで， $\alpha=s+it,\, y=p+iq\;(s,t, p,q\in\mathbb{R})$ とおくと，指数部分について

\begin{aligned} \operatorname{Re} (y(x+ib)^2) &=px^2 -2bqx \\ &\ge \frac{s}{2} x^2 -3|bt||x|\end{aligned}

であるから，

\begin{aligned}&\left| \frac{e^{-(\alpha+h)(x+ib)^2}-e^{-\alpha(x+ib)^2}}{h} \right| \\ &\le |x+ib|^2 \exp\left( -\frac{s}{2} x^2 +3|bt||x| \right)\end{aligned}

となって， $s>0$ なので，これは $x\in (-\infty,\infty)$ 上可積分な関数である。ルベーグの収束定理より， $(2)$ 式は $h\to 0$ で収束する。よって， $f(\alpha)$ は $\operatorname{Re}\alpha>0$ 上解析的(正則)である。

また， $\alpha \mapsto \sqrt{\pi/\alpha}$ は $\operatorname{Re} \alpha>0$ 上明らかに解析的(正則)であるから， $(1)$ 式は解析接続できて， $\operatorname{Re} \alpha>0$ 上

\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}

が言えた。

証明終

フレネル積分

ガウス積分 $\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx=\sqrt{\pi/\alpha}$ は， $\operatorname{Re}\alpha>0$ でした。しかし，このような $\beta =0$ のときは， $\operatorname{Re}\alpha=0$ に拡張することが可能です。これはフレネル積分と呼ばれ，以下で解説しています。

複素数版のガウス積分

複素数版のガウス積分の導出

1. bを複素数βに拡張する証明

2. aを複素数αにする証明

フレネル積分

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