位相空間におけるフィルターの概念を詳しく

定理1.1の証明

フィルター基 \implies 1,2.について

\mathscr{C} がフィルター \mathscr{F} のフィルター基とすると， \mathscr{C}\subset \mathscr{F} より，1.が成り立っていなければならず，また， C_1,C_2\in \mathscr{C}\subset \mathscr{F} に対し， C_1\cap C_2\in\mathscr{F} であるから，フィルター基の定義より，2.が成り立たなければならない。

1,2.\implies あるフィルターのフィルター基について

フィルターの定義より，\mathscr{C} がフィルター基なら生成されるフィルターは \mathscr{F}=\{F\subset X\mid \exists C\in\mathscr{C},\, C\subset F\} を含む。

\mathscr{F} がフィルターであることを示そう。 \emptyset \notin \mathscr{F} と F\in\mathscr{F}, \, F\subset F'\implies F'\in\mathscr{F}は明らか。 F_1, F_2\in\mathscr{F} とすると， C_1\subset F_1,\, C_2\subset F_2 をみたすある C_1, C_2\in\mathscr{C} が存在する。このとき，条件2.より，ある C\in\mathscr{C} が存在して，

であり， \mathscr{F} の定義より， F_1\cap F_2\in\mathscr{F} である。したがって，\mathscr{F} はフィルターである。

\mathscr{C} が \mathscr{F} のフィルター基であることは， \mathscr{F} の定め方より明らか。よってすべて示せた。

証明終

証明

1.について

\mathfrak{F}=\{ \mathscr{G}\colon \text{ filter} \mid \mathscr{F}\subset \mathscr{G}\} を，\mathscr{F} を含むフィルター全体の集合とすると，これは包含関係 \mathscr{F}_1\le \mathscr{F}_2\iff\mathscr{F}_1\subset \mathscr{F}_2 によって帰納的半順序集合であることが容易に示せる。ツォルンの補題より， \mathfrak{F} には少なくとも一つの極大元 \mathscr{F}' が存在する。

2.の \implies について

A\subset X とする。このとき，「任意の F\in\mathscr{F} に対して， F\cap A\ne \emptyset」か「任意の F\in\mathscr{F} に対して， F\cap (X\setminus A)\ne \emptyset」のいずれかが必ず成立する。実際，F_1, F_2\in \mathscr{F} が， F_1\cap A=F_2\cap (X\setminus A)=\emptyset が成り立つとすると， F_1\cap F_2=\emptyset となるから，フィルターの定義に矛盾する。

よって，「任意の F\in\mathscr{F} に対して， F\cap A\ne \emptyset」が成立すると仮定する。

とすると，これはフィルター基の条件をみたす。 A\in \mathscr{F}(\mathscr{C}) かつ \mathscr{F}\subset \mathscr{F}( \mathscr{C}) であるが，\mathscr{F} の極大性より，\mathscr{F}= \mathscr{F}( \mathscr{C}) である。よって，A\in\mathscr{F} であるから，題意は示された。

2.の \impliedby について

\mathscr{F} が超フィルターでないと仮定する。\mathscr{F}\subsetneq \mathscr{G} をフィルターとすると， A\notin \mathscr{F} かつ A\in \mathscr{G} となる A\subset X が取れる。

\mathscr{F} の仮定より， X\setminus A\in\mathscr{F} である。よって，A, X\setminus A\in\mathscr{G} であるが，

となり，これは \mathscr{G} がフィルターであることに矛盾する。よって，\mathscr{F} は超フィルターである。

3.について

後の定理2.1と超フィルターの定義から明らか。

証明終

証明

1.\implies 2.について

とすると，これはフィルター基の条件をみたし，\mathscr{F}(\mathscr{C}) が2.をみたす。

2.\implies 1.について

もし，\mathscr{F}\subset\mathscr{G}\to x とすると，収束の定義より \mathcal{N}_x\subset \mathscr{G} である。 F\in\mathscr{F},\, N\in\mathcal{N}_x とすると，どちらも \mathscr{G} の元なので， F\cap N\ne\emptyset である。ゆえに，\mathscr{F} は x を集積点にもつ。

証明終

証明

1.\implies 2.について

x\in \overline{A} ならば，任意の N\in \mathcal{N}_x に対し， N\cap A\ne\emptyset となることに注意する。このとき，

はフィルター基の条件をみたし，A\in \mathscr{F}(\mathscr{C})\to x である。

2.\implies 1.について

X 上のフィルター \mathscr{F} が A\in \mathscr{F} \to x と仮定すると，定理2.1より，\mathscr{F} は x を集積点にもつので明らか。

証明終

証明

1.\implies 2.について

\mathscr{F}\to x とすると， f は x で連続より， f(x) の任意の近傍 N に対し， f^{-1}(N)\in\mathscr{F} である。

よって， f\circ f^{-1}(N)\in f(\mathscr{F}) であり，写像の像・逆像と集合との演算証明より f\circ f^{-1}(N)\subset N なので， N\in f(\mathscr{F}) である。以上から， f(\mathscr{F})\to f(x) が言えた。

2.\implies 1.について

\mathscr{F}=\mathcal{N}_x として2.を適用する。f(\mathscr{F})\to f(x) なので， f(x) の任意の近傍 N に対し， f(M)\subset N となる M\in\mathscr{F}=\mathcal{N}_x が存在する。

M\subset f^{-1}(N) より， f^{-1}(N) は x の近傍である。よって， f は x で連続である。

証明終

証明

1.\implies 2.について

p_\alpha が連続であることと，定理2.3よりわかる。

2.\implies 1.について

U を x の開近傍とすると，直積位相の定義より， ある n\ge 1 と \alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \Alpha と， U_1\in \mathcal{O}_{\alpha_1}, \ldots ,U_n\in\mathcal{O}_{\alpha_n} が存在して，

とできる。真ん中の集合を B とする。各 \alpha\in \Alpha に対し， p_\alpha(\mathscr{F})\to p_\alpha(x) より， U_k\in p_{\alpha_k}(\mathscr{F}) である。ゆえに，ある F_k\in\mathscr{F} が存在して， p_{\alpha_k}(F_k)\subset U_k とできる。

F=\bigcap_{k=1}^n F_k とおくと，フィルターの定義から F\in\mathscr{F} であり， F\subset B\subset U より，U\in\mathscr{F} である。よって， \mathscr{F}\to x である。

証明終

証明

1.\implies 2.について

x,y\in X に対し，\mathscr{F}\to x かつ \mathscr{F}\to y とする。このとき，\mathcal{N}_x, \mathcal{N}_y\subset \mathscr{F} であり，ハウスドルフ性の仮定より，もし x\ne y なら N_x\cap N_y=\emptyset となる N_x\in\mathcal{N}_x, \, N_y\in\mathcal{N}_y が存在して，フィルターの定義に反する。

以上から， x=y であるから，2.が言えた。

2.\implies 1.について

X がハウスドルフでないと仮定すると，ある異なる2点 x,y\in X が存在して，任意の N_x \in\mathcal{N}_x,\, N_y\in\mathcal{N}_y に対し， N_x\cap N_y\ne\emptyset とできる。

と定めると，これはフィルターであり，\mathscr{F}\to x かつ \mathscr{F}\to y である。よって，2.に矛盾する。

証明終

定理2.6の証明

1.\implies 2.について

\mathscr{F} をフィルターとすると，フィルターの定義より，閉集合族 \{\overline{F}\}_{F\in\mathscr{F}} は有限交叉性をもつ。 X はコンパクトなので， \bigcap_{F\in\mathscr{F}} \overline{F} は空でない。 x\in \bigcap_{F\in\mathscr{F}} \overline{F} とすると， x は \mathscr{F} の集積点である。

2.\implies 1.について

\mathscr{C}=\{F_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda} を有限交叉性をもつ閉集合族とする。 \mathscr{F}=\mathscr{F}( \mathscr{C}) とすると，2.の仮定より， x\in \bigcap_{F\in\mathscr{F}} \overline{F} が存在する。

なので， \bigcap_{\lambda\in\Lambda} F_\lambda\ne\emptyset である。よって， X はコンパクトである。

2.\iff3.については，定理2.1で示した。

3. \iff 4.については，定理1.2.1から明らか。

証明終

証明

1.の \implies について

U を x の開近傍とすると，x_\lambda\to x より，ある \lambda_0 があって， \lambda\ge \lambda_0\implies x_\lambda\in U である。よって， C_{\lambda_0}\subset U であり， C_{\lambda_0}\in\mathscr{F} なので， U\in\mathscr{F} である。ゆえに， \mathscr{F}\to x を得る。

1.の \impliedby について

\mathscr{F}\to x と仮定する。 U を x の開近傍とすると，U\in\mathscr{F} であり，\mathscr{F} の定義から，ある \lambda_0 が存在して， C_{\lambda_0}\subset U である。

すなわち， \lambda\ge \lambda_0\implies x_\lambda\in C_{\lambda_0}\subset U であるから， (x_\lambda) is eventually in U である。よって x_\lambda\to x である。

2.の \implies について

U を x の開近傍とすると， \mathscr{F}\to x より， U\in \mathscr{F} である。ゆえに， u\in U に対し，

であるから， (x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_\mathscr{F}} is eventually in U である。したがって， x_\lambda\to x が言えた。

2.の \impliedby について

U を x の開近傍とすると， x_\lambda \to x より， (x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_\mathscr{F}} is eventually in U である。ゆえに，ある (v, V) \in \Lambda_{\mathscr{F}} が存在して， v\in U である。

ネットの定め方より， V\in\mathscr{F} かつ V\subset U なので， U\in\mathscr{F} である。よって， \mathscr{F}\to x である。

証明終