線積分の定義と具体的な計算手法を解説

線積分とは， \R^2 や \R^n 内の曲線上に沿って，関数を積分することです。我々が最初に習うシンプルな積分は x 軸に沿った積分ですが，それが，曲線に変わるのです。

線積分は，スカラー値関数の線積分（スカラー場の線積分）とベクトル値関数の線積分（ベクトル場の線積分）がありますから，両方紹介しましょう。

スカラー値関数の線積分

s(t)=\bigl(x(t), y(t)\bigr) が C^1 級関数であるとは， x(t), y(t) がともに C^1 級関数である（すなわち，微分可能かつ導関数が連続である）ことをいいます。

スカラー値関数の線積分の定義

s(t)= \int_a^t |\boldsymbol{r}'(u)|\, du は， [a,t] における曲線 \boldsymbol{r} の長さを表しています(→曲線の長さの定義と積分による計算例3つ)。

曲線に沿った線積分は1つ目で， \int_C f\, ds は C を C_1, C_2, \ldots, C_n に分割し， C_k の弧長を \Delta s_k，任意に点 \mathrm{P}_k\in C_k を取ったときのリーマン和

\sum_{k=1}^n f(\mathrm{P}_k) \Delta s_k

の極限と考えることができます。また， C_k の弧長 \Delta s_k の代わりに， C_k の端点同士の x 座標の差 \Delta x_k に置き換えたリーマン和の極限が \int_C f\, dx です。

ds =| \boldsymbol{r}'(t)| dt ですから，各赤字の式の右辺は，置換積分と見れます。 t に関する積分に直して計算します。

なお， \boldsymbol{r}\colon [a,b]\to \R^2 が区分的 C^1 級曲線のときは，ある n\ge 1 と

a=t_0<t_1<\cdots < t_n=b

が存在して，各 \boldsymbol{r} \colon [t_{k-1}, t_k]\to \R^2 に制限すると C^1 級にできますから，

\color{red}\begin{aligned} \int_C f\, ds = \sum_{k=1}^n \int_{t_{k-1}}^{t_k} f\bigl(\boldsymbol{r}(t)\bigr) |\boldsymbol{r}'(t)| \, dt \end{aligned}

とすれば，同様に弧長に関する線積分を定義することが可能です。 x 軸方向・ y 軸方向の線積分も定義できます。

また， \R^n 上の曲線でも， \boldsymbol{r}\colon [a,b]\to \R^n に置き換えて， \boldsymbol{r}=(x_1, \ldots, x_n) に対し，

|\boldsymbol{r}'(t)|=\sqrt{x_1(t)^2+\cdots +x_n(t)^2}

とすれば，同様に \int_C f\, ds = \int_a^b f\bigl(\boldsymbol{r}(t)\bigr) |\boldsymbol{r}'(t)| \, dt を考えることができます。

スカラー値関数の線積分の具体例

具体例を見ていきましょう。

この曲線は \boldsymbol{r}(t)=(\cos t, \sin t) \; (0\le t\le \pi/2) とパラメータ表示できることを使いましょう。このとき， f(x,y)=\cos t \sin^2 t， |\boldsymbol{r}'(t)|=\sqrt{\{(\cos t)'\}^2+\{(\sin t)'\}^2}=1 なので，

\begin{aligned}\int_C f\, ds&= \int_0^{\pi/2} \cos t\sin^2 t |\boldsymbol{r}'(t)|\, dt \\ &=\int_0^{\pi/2} \cos t\sin^2 t \, dt \\ &= \left[ \frac{\sin^3 t}{3} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3} \end{aligned}

です。また， dx = -\sin t \, dt ですから，

\begin{aligned} \int_C f\, dx &= \int_{0}^{\pi/2} (\cos t \sin^2 t) (-\sin t) \, dt \\ &= -\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 t \cos t \, dt \\ &= -\left[ \frac{1}{4} \sin^4 t \right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{4} \end{aligned}

も言えます。さらに， dy=\cos t\, dt ですから，

\begin{aligned} \int_C f\, dy &= \int_{0}^{\pi/2} (\cos t \sin^2 t) \cos t\, dt \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t \right)^2 \, dt \\ &= \frac{1}{8} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 4t) \, dt \\ &= \frac{1}{8} \left[ t - \frac{1}{4} \sin 4t \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{16} \end{aligned}

となります。 \int_C f\, dx については，C 上を反時計回りに回ると x 座標は 1 から 0 へと減少する方に動くので， f\ge 0 なのに負の値になります。

さて，今我々が勝手に C を (\cos t, \sin t) という風にパラメータ表示しましたが，パラメータ表示は1通りではないはずで，それによって線積分の値が変わってしまうことはないのでしょうか。実は，線積分はパラメータの取り方によって値を変えないことが知られています。後の定理1で紹介しましょう。

この曲線は \boldsymbol{r}(t)=(t, t^2/2) \; (-1\le t\le 1) とパラメータ表示できることを使いましょう。このとき， f(x,y)= t^2+t^4， |\boldsymbol{r}'(t)|=\sqrt{\{(t)'\}^2+\{(t^2/2)'\}^2}=\sqrt{1+t^2} なので，

\begin{aligned} &\int_C f \, ds \\ &= \int_{-1}^1 (t^2+t^4)\sqrt{1+t^2} \,dt \\ &= 2 \int_{0}^1 (t^2+t^4)\sqrt{1+t^2}\,dt \\ &= 2 \left[{ \small \frac{(8t^5+14t^3+3t)}{48}\sqrt{1+t^2} - \frac{\log(t+\sqrt{1+t^2}) }{16}} \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{25\sqrt{2}}{48} - \frac{1}{16}\log(1+\sqrt{2}) \right) \\ &= \frac{25\sqrt{2}}{24} - \frac{1}{8}\log(1+\sqrt{2}) \end{aligned}

と求められます。積分は t=\tan\theta と置換して考えてもよいです。また， dx=dt なので，

\begin{aligned} \int_C f\, dx &= \int_{-1}^1 (t^2+t^4)\, dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 \right]_{-1}^1 = \frac{16}{15} \end{aligned}

であり， dy=t\, dt なので，

\begin{aligned} \int_C f\, dy &= \int_{-1}^1 (t^2+t^4) \cdot t\, dt \\ &= \int_{-1}^1 (t^3+t^5)\, dt = 0 \end{aligned}

も得ます。

x 軸方向の線積分と， y 軸方向の線積分の両方が現れる形も紹介しましょう。

\int_L (xy \, dx+ y^2\, dy)=\left[ \frac{x^2y}{2}+\frac{y^3}{3}\right] などとやりたくなるかもしれませんが，これは誤りです。 L に沿う線積分なので，パラメータで置き換えて積分しましょう。

この曲線は \boldsymbol{r}(t)=(t, 3t) \; (-1\le t\le 2) とパラメータ表示できることを使いましょう。このとき， xy=3t^2,\, y^2=9t^2,\, dx= dt,\, dy=3\, dt なので，

\begin{aligned} \int_L (xy \, dx + y^2 \, dy) &= \int_{-1}^2 (3t^2 \,dt + 9t^2 \cdot 3\, dt) \\ &= \int_{-1}^2 30t^2\, dt \\ &= \left[ 10t^3 \right]_{-1}^2 = 90 \end{aligned}

となります。

線積分はパラメータの取り方によって値を変えない

パラメータの取り方によって値を変えないと述べましたが，実際は曲線の「向き付け」が変わると値は変わります。たとえば，逆向きに取ると積分値は -1 倍になります。あくまで「向き付け」が変わらない場合に，パラメータの取り方によって値を変えないという意味です。

ベクトル値関数の線積分

ベクトル値関数の線積分は，曲線の方向との内積を考えて，スカラー値の積分とします。

\boldsymbol{F}=(F_1, F_2) と成分表示すると，スカラー値関数の線積分を用いて，

\int_C \boldsymbol{F} \, d\boldsymbol{r}=\int_C F_1 \,dx+\int_C F_2\, dy

とかけます。 \R^2 ではなく \R^n の場合も同様に定義できます。

一つだけ具体例を挙げましょう。

曲線 C は \boldsymbol{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos^3 t \\ \sin^3 t \end{pmatrix}\;(0\le t\le 2\pi) とパラメータ表示できて，

\begin{aligned} &\int_C \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} \\ &={\small \int_0^{2\pi} \left\{\begin{aligned} &(2\cos^3 t + \sin^3 t)(-3\cos^2 t \sin t) \\ &\qquad \qquad+ (\cos^6 t)(3\sin^2 t \cos t) \end{aligned}\right\} dt} \\ &={\small \int_0^{2\pi} \left( \begin{aligned}&-6\cos^5 t \sin t - 3\sin^4 t \cos^2 t \\ &\qquad\qquad\qquad + 3\cos^7 t \sin^2 t \end{aligned}\right) dt }\end{aligned}

ここで，一つ目と三つ目の積分は対称性より 0 になるため，考えるべきは

\begin{aligned} & - 3 \int_0^{2\pi} \sin^4 t \cos^2 t \, dt \\ &= - 3 \int_0^{2\pi} \frac{1-\cos 2t}{2} \cdot \frac{\sin^2 2t}{4} \, dt \\ &= -\frac{3}{8} \int_0^{2\pi} \left( \sin^2 2t - \sin^2 2t \cos 2t \right) dt \\ &= -\frac{3}{8} \int_0^{2\pi} \left( \frac{1-\cos 4t}{2} - \sin^2 2t \cos 2t \right) dt \\ &= -\frac{3}{8} \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 4t}{8} - \frac{\sin^3 2t}{6} \right]_0^{2\pi} \\ &= -\frac{3}{8}\pi \end{aligned}

なお，この積分はアステロイドで囲まれた部分の面積の計算にマイナスをつけたものになっています。これは，グリーンの定理を使っても分かります。

また，スカラー値関数の線積分のときと同様の証明により，曲線の向き付けが変わらない場合に線積分はパラメータの取り方によって値を変えないことが分かります。

周回積分

C^1 級曲線あるいは区分的 C^1 級曲線 \boldsymbol{r}\colon [a,b]\to \R^2 が単純閉曲線であるとは， \boldsymbol{r} が [a,b) 上単射かつ \boldsymbol{r}(a)=\boldsymbol{r}(b) が成り立つことをいいます。すなわち，始点と終点が一致している曲線です。

C を（区分的） C^1 級閉曲線とするとき， C に沿う線積分 \displaystyle \int_C を周回積分といい，その意味を強調するために， \displaystyle\oint_C とかくことがあります。意味は \displaystyle \int_C と全く同じです。

たとえば，真上のベクトル値関数の線積分の例.は周回積分ですから， \displaystyle \oint_C とかいても構いません。

複素数値関数の線積分

実数値関数の線積分と同様に，複素数平面上でも線積分を定義することができます。 \R^2 ではなく， \mathbb{C} における曲線に沿った積分を考えます。

\R^2 のときの \int_C f\, ds の ds は弧長に関するものでしたが，いまは複素数 dz そのまま積分していることに注意してください。

なお， f が複素微分可能（正則）のとき，滑らかな曲線による周回積分 \oint_C f(z)\, dz は常に 0 になることが知られています（コーシーの積分定理）。これはかなり強力な定理で，複素関数の特殊性を表しています。また別の機会に紹介しましょう。

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