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行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)

線形代数学
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行列式の性質のうち,特に大事な6つの性質を証明します。最後には,行列の基本変形と行列式の関連性についても考えます。

行列式の性質

まず最初に,今回紹介する行列式の性質を全て列挙しましょう。

以下で,複素数 \mathbb{C} は実数 \mathbb{R} に変えても成立します。

定理(行列式の性質)

1. 行列式は,各列に関して線形性がある。すなわち, \boldsymbol{a_k} \in \mathbb{C}^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol{b_k} \in \mathbb{C}^n n 次元ベクトル, s,t\in \mathbb{C} とすると,

\small \begin{aligned} &\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{s\boldsymbol{a_k}+t\boldsymbol{b_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}) \\ ={}&\textcolor{red}{s} \det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{\boldsymbol{a_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}) \\ &+ \textcolor{red}{t}\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{\boldsymbol{b_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}). \end{aligned}


また同様に,行列式は各行に関して線形性がある。すなわち, \boldsymbol{a_k} \in \mathbb{C}^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol{b_k} \in \mathbb{C}^n n 次元ベクトル, s,t\in \mathbb{C} とすると,

\small \begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{s\boldsymbol{a_k} +t\boldsymbol{b_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} \\ &= \textcolor{red}{s}\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{\boldsymbol{a_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} +\textcolor{red}{t}\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{\boldsymbol{b_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} .\end{aligned}


2. 転置行列の行列式は元のそれと同じ。すなわち, \color{red}\det A = \det A^\top.

3. (列・行の入れ替え) \sigma\in S_n 置換とする。このとき,太字をベクトルとすると,

\begin{aligned}& \det(\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(1)}}}, \dots ,\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(n)}}})\\ & =\textcolor{red}{( \operatorname{sgn} \sigma )}\det(\boldsymbol{a_1}, \dots,\boldsymbol{a_n}).\end{aligned}


太字をベクトルとすると,

\begin{aligned}\det \begin{pmatrix}\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(1)}}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(n)}}} \end{pmatrix} = \textcolor{red}{(\operatorname{sgn} \sigma)} \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n}\end{pmatrix} .\end{aligned}


特に, 2つの列(または行)を入れ替えると,行列式は \color{red} -1 倍になる。

4. 2つの列(または行)が等しい行列式の値は \color{red} 0 である。

5. 行列式と積は可換である。すなわち, A,B n 正方行列とするとき,

\color{red} \det (AB) = \det A \det B.


6. A が正則のとき, \color{red}\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} .

今回はこの6つについて,証明付きで扱いましょう。

行列式の性質の証明

行列式の性質の前に,行列式の定義を復習しておきましょう。

行列式の定義

n 正方行列 A =(a_{ij}) に対し,

\color{red} \det A = \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}


行列式 (determinant) という。

行列式の定義について詳しくは,行列式(det)の定義と現実的な求め方~計算の手順~を参照してください。

なお, \sigma S_n は置換による記号です。これは,線形代数(行列)における置換・奇置換・偶置換の最低限必要な知識を参照してください。

1. 行列式の列・行の線形性

1. 行列式は,各列に関して線形性がある。すなわち, \boldsymbol{a_k} \in \mathbb{C}^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol{b_k} \in \mathbb{C}^n n 次元ベクトル, s,t\in \mathbb{C} とすると,

\small \begin{aligned}&\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{s\boldsymbol{a_k}+t\boldsymbol{b_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}) \\={}&\textcolor{red}{s} \det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{\boldsymbol{a_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}) \\ &+ \textcolor{red}{t}\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_{k-1}}, \textcolor{red}{\boldsymbol{b_k}}, \boldsymbol{a_{k+1}},\dots, \boldsymbol{a_n}).\end{aligned}


また同様に,行列式は各行に関して線形性がある。すなわち, \boldsymbol{a_k} \in \mathbb{C}^n \,\,(1\le k\le n), \,\, \boldsymbol{b_k} \in \mathbb{C}^n n 次元ベクトル, s,t\in \mathbb{C} とすると,

\small \begin{aligned} &\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{s\boldsymbol{a_k} +t\boldsymbol{b_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} \\ &= \textcolor{red}{s}\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{\boldsymbol{a_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} +\textcolor{red}{t}\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{k-1}} \\ \textcolor{red}{\boldsymbol{b_k}} \\ \boldsymbol{a_{k+1}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n} \end{pmatrix} .\end{aligned}

証明

列に関する線形性について

\boldsymbol{a_k} = \begin{pmatrix} a_{1k}\\ a_{2k}\\ \vdots \\ a_{nk} \end{pmatrix}


と定めると,積の分配法則により,

\begin{aligned}&\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , s\boldsymbol{a_k}+t\boldsymbol{b_k}, \dots,\boldsymbol{a_n}) \\ &= \sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}\dots (sa_{k\sigma(k)}+tb_{k\sigma(k)})\dots a_{n\sigma(n)} \\ &=s\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}\dots a_{k\sigma(k)}\dots a_{n\sigma(n)} \\ &\quad + t\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}\dots b_{k\sigma(k)}\dots a_{n\sigma(n)}\\ &=s\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{a_k}, \dots ,\boldsymbol{a_n}) \\ &\quad+ t\det (\boldsymbol{a_1}, \dots , \boldsymbol{b_k}, \dots, \boldsymbol{a_n}) \end{aligned}


であるから,結論を得る。

行に関する線形性について

次の転置行列に関する性質2を用いて,列に関する線形性に帰着させればよい。

証明終

2. 転置行列の行列式は一致する

2. 転置行列の行列式は元のそれと同じ。すなわち, \color{red}\det A = \det A^\top.

証明

\begin{aligned} \det A &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}, \\ \det A^\top &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}\\ \end{aligned}


である。ここで,第2式の右辺を,最初の添え字に対して昇順に並び替えると,

\begin{aligned} &a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n} \\ &= a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \end{aligned}


であることが分かる。 \operatorname{sgn} \sigma = \operatorname{sgn} \sigma^{-1} であるから,結局,

\begin{aligned}&\det A^\top \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\dots a_{\sigma(n)n}\\ &= \sum_{\sigma\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma^{-1} )a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ &= \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma^{-1} )a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)} \\ &= \det A \end{aligned}


となって \det A^\top = \det A.

証明終

3. 列・行の入れ替えと行列式

3. (列・行の入れ替え) \sigma\in S_n 置換とする。このとき,太字をベクトルとすると,

\begin{aligned}& \det(\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(1)}}}, \dots ,\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(n)}}})\\& =\textcolor{red}{( \operatorname{sgn} \sigma )}\det(\boldsymbol{a_1}, \dots,\boldsymbol{a_n}).\end{aligned}


太字をベクトルとすると,

\begin{aligned}\det \begin{pmatrix}\boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(1)}}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_{\textcolor{red}{\sigma(n)}}} \end{pmatrix}= \textcolor{red}{(\operatorname{sgn} \sigma)} \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_n}\end{pmatrix} .\end{aligned}


特に, 2つの列(または行)を入れ替えると,行列式は \color{red} -1 倍になる。

証明

行に関する置換は,転置すること(性質2)で列に関する置換に帰着されるから,列の方のみ示そう。

\boldsymbol{a_k} = \begin{pmatrix} a_{1k}\\ a_{2k}\\ \vdots \\ a_{nk} \end{pmatrix}


と定めると,

\begin{aligned} &\det(\boldsymbol{a_{\sigma(1)}}, \dots ,\boldsymbol{a_{\sigma(n)}}) \\ &=\sum_{\tau\in S_n} (\operatorname{sgn}\tau) a_{\sigma(1)\tau(1)}a_{\sigma(2)\tau(2)}\dots a_{\sigma(n)\tau(n)} \\ &= \sum_{\tau\in S_n} (\operatorname{sgn}\tau) a_{1\sigma^{-1}\tau(1)}a_{2\sigma^{-1}\tau(2)}\dots a_{n\sigma^{-1}\tau(n)} \\ &= (\operatorname{sgn}\sigma)\sum_{\tau\in S_n} (\operatorname{sgn}\sigma^{-1}\tau) a_{1\sigma^{-1}\tau(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}\tau(n)} \\ &= (\operatorname{sgn}\sigma)\det(\boldsymbol{a_1}, \dots,\boldsymbol{a_n}) \end{aligned}


より結論を得る。

証明終

4. 2つの列(または行)が等しい行列の行列式は0

4. 2つの列(または行)が等しい行列式の値は \color{red} 0 である。

これは性質3を使って証明されます。

証明

元の行列の行列式を a とする。性質3の「2つの列(または行)を入れ替えると,行列式は -1 倍になる」という性質から,等しい2列(または2行)を入れ替えても行列式は -1 になるはずである。従って,

a = -a


より, a=0 を得る。

証明終

5. 行列式と積は可換(det AB = det A det B)

5. 行列式と積は可換である。すなわち,\color{red} \det (AB) = \det A \det B.

証明

列ベクトルを用いて, A = (\boldsymbol{a_1},\dots, \boldsymbol{a_n} ) = (a_{ij}), \,B= (b_{ij}) とすると,

\begin{aligned} AB &= \left(\sum_{i_1=1}^n \boldsymbol{a_{i_1}}b_{i_1 1}, \dots, \sum_{i_n=1}^n \boldsymbol{a_{i_n}}b_{i_n n}\right) \end{aligned}


である。これと,性質1の線形性により,

\begin{aligned} &\det (AB) \\ &= \sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_n=1}^n b_{i_11}\dots b_{i_nn}\det(\boldsymbol{a_{i_1}},\dots,\boldsymbol{a_{i_n}}).\end{aligned}


ここで,同じ列が2列以上ある行列式の値は 0 である(性質4)から,

\small \begin{aligned}& \sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_n=1}^n b_{i_11}\dots b_{i_nn}\det(\boldsymbol{a_{i_1}},\dots,\boldsymbol{a_{i_n}}) \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}\det(\boldsymbol{a_{\sigma(1)}},\dots,\boldsymbol{a_{\sigma(n)}}) \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n}\{(\operatorname{sgn} \sigma)\det(\boldsymbol{a_1},\dots,\boldsymbol{a_n}) \} \\ &= \sum_{\sigma\in S_n}(\operatorname{sgn} \sigma) b_{\sigma(1)1}\dots b_{\sigma(n)n} \det A \\ &= \det B^\top \det A = \det A \det B. \end{aligned}


ただし,2つ目の等式は列の置換の性質3を,最後の等式は転置行列の行列式の性質2を用いた。

証明終

6. det (A^{-1}) = (det A)^{-1}

6. A が正則のとき,\color{red} \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} .

証明

性質5より, I を同じ大きさの単位行列とすると,

1 = \det I = \det (AA^{-1}) = \det A \det (A^{-1}) .


従って, \det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} .

証明終

行列の基本変形による行列式の変化

上のことを踏まえて,行列の基本変形とそれによる行列式の変化について考えましょう。行列の基本変形によって,行列式は以下のように変化します。

基本変形行列式証明方法
ある行(列)の  {c}  倍を他の行(列)に加える変化なし行列式の線形性(性質1)
と同じ列を持つ行列式は 0 (性質4)から
2つの行(列)を入れ替える \boldsymbol{-1} 列・行の置換の性質(性質3)から
ある行(列)を  { c \ne 0 } 倍する\boldsymbol{ c} 行列式の定義から明らか

特殊で有用な行列式

最後に,覚えておくべき特殊で有用な行列式について紹介しましょう。

ファンデルモンドの行列式

定理(ファンデルモンドの行列式)

\color{red} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{i<j} (x_j - x_i)


が成立する。

これについての証明は,以下の記事を参照してください。

巡回行列式

定理(巡回行列式)

\color{red} \begin{aligned} &\begin{vmatrix} x_0 & x_1 & x_2 &\dots & x_{n-1} \\ x_{n-1} & x_0 & x_1 & \dots & x_{n-2} \\ x_{n-2} & x_{n-1} & x_0 & \dots & x_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_0 \end{vmatrix} \\ &= \prod_{\zeta} (x_0 + \zeta x_1 + \zeta^2 x_2 + \dots \zeta^{n-1} x_{n-1} ) \end{aligned}


である。ただし, \zeta 1 n 乗根全体にわたる。

これの証明は,以下の記事を参照してください。