積分を勉強するときに出てくる2つの言葉である「原始関数」と「不定積分」について，その専門数学における厳密な定義と違いについて述べ，理解を深めましょう。
原始関数・不定積分の厳密な定義
簡単のため，関数の定義域は実数全体 \mathbb{R} としますが，一部の区間であっても構いません。
原始関数の厳密な定義
まずは，原始関数の定義です。
定義（原始関数）
微分して f(x) になる関数 F(x) ，すなわち，
\color{red}F'(x) = f(x),\quad x\in \mathbb{R}
となるとき， F は f の原始関数 (primitive function) という。原始関数は， \displaystyle\color{red} \int f(x)\, dx とかくことがある。
原始関数とは，微分の逆を指します。よって，微分の逆の操作を行うことで，原始関数を求めることができます。
原始関数は一つではありません。 F(x) を f(x) の原始関数としたとき， F(x) + C も f(x) の原始関数です。
たとえば， x^2 の原始関数は x^3/3 +C になります。このときの C は，積分定数などと呼ばれます。
不定積分の厳密な定義
つづいて，不定積分を定義しましょう。不定積分を理解するには，まずは定積分 \int_a^bf(x)\, dx を理解せねばなりません。不定積分は，定積分から定義されるのです。
定積分は，面積として定義されます。以下の図を見てください。
このように，関数に対し，それと x 軸との間の面積を定積分（リーマン積分）とします。詳しくは，リーマン和による定積分の定義とリーマン積分可能・不可能な例を確認してください。
この定積分に対し，面積を考える区間に変数 x を導入し，インテグラルの部分を x に関する関数とみたものが不定積分です。定義を述べましょう。
定義（不定積分）
a\in \mathbb{R} とし， f を閉区間上積分可能であるとする。このとき，
\color{red} \mathcal{F}(x) = \int_a^x f(t)\, dt,\quad x\in \mathbb{R}
を f の不定積分 (indefinite integral) という。
最初に注意として述べましたが，高校では，「不定積分」は「原始関数」であると定義します。よって，不定積分と原始関数の定義は全く同じになります。今は，そういう立場で話をしていないという点を留意してください。
原始関数・不定積分の違い
両者の違いを表にまとめておきましょう。
| 原始関数 | 不定積分 |
|---|---|
| F'(x) = f(x) となる F | \mathcal{F}(x) = \int_a^x f(t)\, dt となる \mathcal{F} |
| 微分の逆 | 面積を求める「定積分」を「変数化」 |
原始関数・不定積分の具体例
原始関数は存在しないが，不定積分は存在する例を述べます。
例
f(x) =\begin{cases}0 & x=0, \\ 1 & x\ne 0 \end{cases} とおくと，f の原始関数は存在しないが，不定積分は存在する。
f のように，1点だけで微分が 0 ，残りで微分が 1 になるような原始関数は存在しませんが，一方で，1点だけ 0 であっても，面積には影響を与えないため，不定積分は存在するというわけです。
原始関数と不定積分の両方が存在すればある意味一致する
ある関数 f について，原始関数と不定積分の両方が存在するとき，
\int_a^x f(t)\, dt = F(x)-F(a)
の関係があることが知られています。これを，微分積分学の基本定理といいます。これは，以下で証明しています。
原始関数は「微分の逆」で，不定積分は「面積」でしたから，「微分の逆」と「面積」が同じものである，といっているわけで，大変重要な定理です。この定理があるからこそ，面積を求めるのに，原始関数を経由して求めることができるというわけですね。
高校では，原始関数と不定積分はあまり区別しませんが，結局両方一致しているので，区別しなくても差し支えない，ということですね。
