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逆三角関数(arcsin,arccos,arctan)の定義と諸性質まとめ

2021.03.24
微分積分学(大学)
用語・記号の定義大学教養
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三角関数の逆関数について，定義とそのグラフ，性質をまとめます。

逆三角関数の定義

sin⁡ ⁣:R→[−1,1] \sin \colon \mathbb{R} \to [-1,1] は単射でないため逆関数は定義できませんが，定義域を [−π/2,π/2] [-\pi/2, \pi/2] に制限すれば，これは全単射になり，逆関数が定義できます。

同様にして cos⁡,tan⁡ \cos, \tan の逆関数も，定義域を制限すれば考えられます。実際の定義を述べましょう。

逆関数の定義については，以下の記事を参照してください。

逆関数(逆写像)の定義と性質を厳密に～図解付き～
逆関数(逆写像)の定義と性質について図を交えつつ厳密に説明します。逆関数を厳密に定義するためには，「全単射」という概念が必要です。これについては長くなってしまうため，別の記事で解説していますから，以下を参照してください。
mathlandscape.com

定義（逆三角関数）

  • sin⁡x (−π/2≤x≤π/2) \sin x \, (-\pi/2 \le x \le \pi/2) の逆関数を sin⁡−1x (−1≤x≤1) \color{red} \sin^{-1} x \, (-1\le x\le 1) や arcsin⁡x\color{red} \arcsin x などと書く。
  • cos⁡x (0≤x≤π) \cos x \, (0 \le x \le \pi) の逆関数を cos⁡−1x (−1≤x≤1) \color{red} \cos^{-1} x \, (-1\le x\le 1) や arccos⁡x \color{red}\arccos x などと書く。
  • tan⁡x (−π/2<x<π/2) \tan x \, (-\pi/2 < x < \pi/2) の逆関数を tan⁡−1x (−∞<x<∞) \color{red} \tan^{-1} x \, (-\infty< x < \infty) や arctan⁡x \color{red} \arctan x などと書く。

このように，逆三角関数を(一価の)関数とみたときの取る値を主値といいます。定義域を主値を表でまとめましょう。

逆三角関数定義域主値
θ=sin⁡−1x \theta = \sin^{-1} x −1≤x≤1 -1 \le x \le 1−π/2≤θ≤π/2 -\pi/2 \le \theta \le \pi/2
θ=cos⁡−1x\theta = \cos^{-1} x −1≤x≤1 -1 \le x \le 10≤θ≤π 0 \le \theta \le \pi
θ=tan⁡−1x\theta = \tan^{-1} x −∞<x<∞ -\infty < x < \infty−π/2<θ<π/2 -\pi/2 < \theta < \pi/2

逆三角関数のグラフ

3つのグラフを確認しておきましょう。

y=arcsin xのグラフ
y=arccos xのグラフ
y= arctan xのグラフ

逆三角関数の性質

さまざまな性質をまとめてみましょう。

基本的な性質

定理（逆関数の基本的な性質）

  • sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x,  −1≤x≤1. \sin^{-1} (-x) = - \sin^{-1} x, \,\, -1\le x\le 1.
  • cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x,  −1≤x≤1. \cos^{-1} (-x) = \pi -\cos^{-1} x, \,\, -1\le x\le 1.
  • tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x,  x∈R \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x, \,\, x\in \mathbb{R}
  • cos⁡(sin⁡−1x)=sin⁡(cos⁡−1x)=1−x2,  −1≤x≤1. \cos (\sin^{-1} x) = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2},\,\, -1 \le x\le 1.
  • sin⁡−1x+cos⁡−1x=π/2,  −1≤x≤1. \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \pi /2, \,\, -1 \le x \le 1.
  • tan⁡−1x+tan⁡−11/x={π/2x>0,−π/2x<0. \tan^{-1} x + \tan^{-1} 1/x = \begin{cases} \pi/2 & x>0, \\ -\pi/2 & x< 0.\end{cases}
  • lim⁡x→0sin⁡−1xx=1. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = 1.

証明は，三角関数の基本的な性質（たとえば sin⁡x=cos⁡(π/2−x) \sin x = \cos (\pi/2 -x ) など）を組み合わせればできます。

逆三角関数の微分

定理（逆三角関数の微分）

  • (sin⁡−1x)′=11−x2,  −1<x<1. \displaystyle(\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\, -1<x<1.
  • (cos⁡−1x)′=−11−x2,  −1<x<1.\displaystyle (\cos^{-1} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\, -1<x<1.
  • (tan⁡−1x)′=11+x2,  x∈R. \displaystyle (\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}, \,\, x\in \mathbb{R}.

逆関数の微分法を用いれば証明可能です。

なお，これを逆に用いた「積分公式」は有名です。以下で述べましょう。

逆三角関数が出てくる積分
  • ∫1a2−x2 dx=sin⁡−1xa+C.\color{red} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C.
  • ∫1a2+x2 dx=1atan⁡−1xa+C. \color{red}\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C.

ただし，C C は積分定数である。

逆三角関数の不定積分

定理（逆三角関数の不定積分）

  • ∫sin⁡−1x dx=xsin⁡−1x+1−x2+C. \displaystyle\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C.
  • ∫cos⁡−1x dx=xcos⁡−1x−1−x2+C. \displaystyle\int \cos^{-1} x \, dx = x\cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C.
  • ∫tan⁡−1x dx=xtan⁡−1x−log⁡(1+x2)2+C. \displaystyle \int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{\log (1+x^2)}{2} + C.

ただし，C C は積分定数である。

このくらいの知識があれば，基本的な範囲で困ることは，おそらくないでしょう。