反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つ

二項関係の性質である，反射律・推移律・対称律・反対称律の定義と具体例7つを紹介します。

反射律・推移律・対称律・反対称律の定義
反射律・推移律・対称律・反対称律の具体例7つ
同値関係と順序関係
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反射律・推移律・対称律・反対称律の定義

反射律・推移律・対称律・反対称律とは，集合上の二項関係 $xRy$ に成り立つ性質を指します。定義を見ていきましょう。

定義（反射律・推移律・対称律・反対称律）

空でない集合 $X$ 上の二項関係 $R$ について，

任意の $x\in X$ に対して， $xRx$ が成り立つとき， $R$ は反射律 (reflexive relation) をみたすという。
$x,y,z\in X$ が $xRy,\; yRz$ を共にみたすとき，常に $xRz$ もみたすなら， $R$ は推移律 (transitive relation) をみたすという。
$x,y\in X$ が $xRy$ をみたすとき，常に $yRx$ もみたすなら， $R$ は対称律 (symmetric relation) をみたすという。
$x,y\in X$ が $xRy,\; yRx$ を共にみたすとき， $x=y$ となるなら， $R$ は反対称律 (antisymmetric relation) をみたすという。

二項関係は $R$ という記号を用いて， $xRy$ とかきましたが，たとえば，順序関係（大小関係）には $x\le y$ のように， $\le$ を用いますし，他の記号を用いることもあります。

反射律・推移律・対称律・反対称律の具体例7つ

各二項関係について，それぞれ反射律・推移律・対称律・反対称律をみたすかを表にしました。

二項関係	反射律	推移律	対称律	反対称律
$=$	〇	〇	〇	〇
$\le$ on $\mathbb{R}$	〇	〇	×	〇
$<$ on $\mathbb{R}$	×	〇	×	〇
$\equiv \pmod p$ on $\mathbb{Z}$	〇	〇	〇	×
$x R y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} \|x-y\|<1$ on $\mathbb{R}$	〇	×	〇	×
$xR y \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} y=2x$ on $\mathbb{R}$	×	×	×	〇
$1R1,\, 2R2,\, 1R2, \,2R1$ であるが，これ以外に二項関係がない on $\mathbb{R}$	×	〇	〇	×

たとえば， $\le$ は $1\le 2$ ですが， $2\le 1$ は不成立のため，対称律をみたしません。一方で， $x\le y,\, y\le x\implies x=y$ なので，反対称律は成立します。

$<$ については， $x<x$ が成立しないため，反射律は成り立ちません。反対称律については，そもそも $x<y,\, y<x$ を同時に満たす $x,y$ が存在しないため， $x<y,\, y<x \implies x=y$ は真になります。
これは， $P\implies Q$ は， $P$ が偽なら，真となるからです。

残りのチェックは，演習問題としましょう。