代数学(大学)

線形代数学

ベクトルの一次独立・一次従属の定義と具体例6つ

ベクトルにおける一次独立・一次従属は,大学数学における難しい概念の1つでしょう。これについて,詳しく掘り下げ,具体例も多く確認していきましょう。高校生でも,ある程度は理解できると思います。
線形代数学

小行列式とは

m×n行列における小行列式とは,いくつかの行・列を同じ数だけ取り出して,それのみ並べ直したr次正方行列の行列式(det)のことを指します。このことについて,定義と,元の行列の階数(ランク)との関係,また余因子との関係も述べましょう。
線形代数学

余因子行列の定義と余因子展開~逆行列になる証明~

余因子 (cofactor)・余因子行列 (adjugate matrix) の定義と余因子展開について図解付きで述べ,余因子行列が逆行列の行列式倍になることの証明を行いましょう。
数論

コラッツ予想(コラッツの問題)とは

コラッツ予想(コラッツの問題; Collatz conjecture; 角谷予想)は,整数論に関する予想で,中高生でも理解できそうなくらい簡単にもかかわらず,多くの数学者の頭を悩ませる未解決問題の1つとして有名です。これについて,その主張を解説しましょう。
線形代数学

正則行列とは~定義と性質11個とその証明~

正方行列が正則 (regular),あるいは単に正則行列 (regular matrix) であるとは,逆行列が存在することを指します。これについて,その定義と性質11個(逆行列の一意姓,正則行列と積・転置・行列式・固有値との関係など)を,証明付きで順に紹介しましょう。
線形代数学

逆行列の定義と2通りの求め方~計算の手順~

正方行列における,逆行列 (inverse of the matrix) の定義と,その計算方法2通りを,手順を追って解説します。計算方法は,掃き出し法による計算と,余因子行列を用いた計算を紹介します。
線形代数学

行列式の性質6つの証明(列,行の線形性,置換,積,転置など)

行列式の性質のうち,特に大事な6つの性質(線形性・転置行列と行列式・列,行の置換・同じ列,行を持つ行列式は0,det AB = det A det B, det(A^{-1}) = (det A)^{-1})を証明します。最後には,行列の基本変形と行列式の関連性についても考えます。
線形代数学

【行列の簡約化】RREF行列(Reduced row echelon form)とは

階段行列のうち,特別な形のものをRREF行列 (Reduced row echelon form) といい,この行列に変形することを「行列の簡約化」といいます。本記事では,これの定義と,その求め方を分かりやすく紹介します。
線形代数学

階段行列とは~定義と例と作り方~

行列における階段行列 (step matrix) について,最初に定義と例を確認し,さらにその作り方・手順を,分かりやすく図解しながら述べましょう。
線形代数学

行列単位とは~定義と性質~

行列単位 E_{ij} (matrix unit) とは,(i,j) 成分のみが1で,それ以外の成分が0となる行列を指します。これについて,その定義と積に関する性質3つを紹介します。
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