代数学(大学)

線形代数学

係数行列・拡大係数行列とは

連立一次方程式の係数を並べた行列を「係数行列 (coefficient matrix)」それに右辺の値を合体させた行列を「拡大係数行列 (augmented coefficient matrix)」といいます。これについて,その定義と具体例を紹介します。
線形代数学

固有値の定義と求め方をていねいに~計算の手順~

固有値 (eigenvalue) の定義とその求め方(計算手順)について,例題も交えて詳細に解説しましょう。検算方法についても紹介します。
線形代数学

複素数と行列の対応関係を考えよう

複素数の演算は,ある行列との演算に1対1に対応しています。この対応について,掘り下げて考えていきましょう。できるだけ平易にわかりやすく解説し,最後に数学的に厳密な主張を述べます。
線形代数学

回転行列とは~定義・求め方・性質~

R^2上の点(x,y)を原点を中心に反時計回りにΘだけ回転させるのに対応する行列を「回転行列 (rotation matrix)」といいます。この行列について,定義と求め方,性質をわかりやすく紹介します。
線形代数学

クラメルの公式とその例題・証明をていねいに

連立一次方程式の解法の1つに,「クラメルの公式 (Cramer's rule)」というものがあります。これは,連立一次方程式の解を,行列式で表そうとするものです。これについて,その内容と具体例・証明を詳しく解説しましょう。
線形代数学

行列の相似とは~定義と性質6つの証明~

n次正方行列A, Bが相似であるとは,あるn次正則行列(すなわち逆行列が存在する行列)Pが存在して,B=P^{-1}APとなることを指します。これについて,その定義と線形写像の表現行列との関係性,性質とその証明を解説します。
線形代数学

基底の変換行列とは~定義と性質をわかりやすく~

有限次元ベクトル空間において,別の2つの基底を取ったときに,その関係性を述べる「基底の変換行列」について,その定義と性質を分かりやすく紹介します。「線形写像の表現行列」との比較も行います。
線形代数学

行列の階数(ランク)の定義と求め方~計算の手順~

数(ランク; rank)とは,それに対応する線形写像の像の次元であり,これは,行基本変形で階段行列に変形することで,求めることができます。これについて,定義の詳細と,行基本変形で階段行列にする具体的な例題を紹介しましょう。
線形代数学

【表現行列】線形写像の行列表示を詳しく

線形写像と行列の間には,非常に深い関係があります。それは,線形写像は行列を用いて表現することができるというものです。この行列は,「表現行列」や「線形写像の行列表示」と言われます。このことについて,具体例も交えながら紹介していきましょう。
線形代数学

ベクトル空間の基底と次元~定義と具体例5つ~

ベクトル空間における「基底 (basis)」とは,ベクトル空間の元を一次結合で表すためのものであり,「次元 (dimension)」は,その基底の個数を指します。これについての定義を述べ,具体例を挙げましょう。
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