高校数学で学ぶ二項定理による多項式の展開公式は，指数部分が正の整数の場合に限られていました。この指数を一般の複素数にまで拡張したものが一般二項展開です。
この展開は， (1+z)^\alpha におけるマクローリン展開の表現にもなっています。一般二項展開の定義と，その具体例・証明について分かりやすく解説していきましょう。
一般二項係数と一般二項展開
まず，一般二項展開のために，一般二項係数を紹介しましょう。高校でやった二項係数を拡張する形で定義します。その上で，一般二項展開を述べます。
一般二項係数の定義
高校では，二項係数は場合の数で現れ， m\ge n\ge 0 をみたす整数 m,n に対し，
\begin{aligned}\binom{m}{n}&={}_m\mathrm{C}_n \\ &= \frac{m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1)}{n!} \\ &= \frac{m!}{n!(m-n)!}\end{aligned}と書けたんでした。この m を，複素数の範囲に拡張します。
定義（一般二項係数）
\alpha \in\mathbb{C} とし， n=0,1,2,\ldots を非負整数とする。このとき，\displaystyle \binom{\alpha}{n} の値を
1. n\ge 1 のとき
\color{red} \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}2. n= 0 のとき
\color{red} \binom{\alpha}{0} = 1と定め，これを一般二項係数 (generalized binomial coefficient) という。
通常の二項係数を拡張した形になっていますね。いくつか具体例を挙げましょう。 i=\sqrt{-1} は虚数単位とします。
- \displaystyle \binom{-2}{3}=\frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}=-4
- \displaystyle \binom{-2}{n} = \frac{(-2)(-3)\cdots(-2-n+1)}{n!} = \frac{(-1)^n (n+1)!}{n!} = (-1)^n (n+1)
- \displaystyle \binom{\frac{1}{2}}{3}=\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{3!}=\frac{1}{16}
- \displaystyle \binom{i}{2}=\frac{i(i-1)}{2!}=\frac{-1-i}{2}
- 整数 m,n が 0<m< n をみたすとき， \displaystyle \binom{m}{n}=0
最後の式は，\displaystyle \binom{m}{n} = \frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)}{n!} の分子に 0 が現れることから分かります。逆に言えば，分子に 0 が現れない場合，すなわち \alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{\{0,1,2,\ldots\}} の場合は，任意の n\ge 1 で \binom{\alpha}{n}\ne 0 となります。
一般二項展開
一般二項係数を使って，一般二項展開を述べましょう。
複素数の累乗は (1+z)^\alpha = e^{\alpha\operatorname{Log}(1+z)} です。ただし， \operatorname{Log}(1+z) = \log|1+z|+i\arg (1+z),\, -\pi <\arg(1+z)\le \pi です。
定理（一般二項展開; generalized binomial expansion）
z\in \mathbb{C},\, |z|<1,\, \alpha\in\mathbb{C} に対し，
\color{red} \begin{aligned} (1+z)^\alpha &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} z^n \\ &= 1 + \alpha z + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} z^2 + \dots \end{aligned}が成り立つ。ただし，和は絶対収束である。
高校のときに習う二項展開（二項定理）は有限和でした。前の5.の例により，この定理の式も，通常の二項展開に一致します。このときは， |z|<1 でなくても構いません。
一方で，先程述べた通り，\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{\{0,1,2,\ldots\}} の場合は，任意の n\ge 1 で \binom{\alpha}{n}\ne 0 ですから，上の式は無限和になります。この無限和は，マクローリン展開の形をしていますね。収束半径は 1 です。 1+z が 0 にならない範囲になっています。
一般二項展開によるマクローリン展開の計算例
証明する前に，まずは一般二項展開の代表的な具体例をみてみましょう。
例1( 1/(1+z)).
|z|<1 に対し，
\begin{aligned} \frac{1}{1+z}&= (1+z)^{-1} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1}{n} z^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} (-z)^n = 1 - z + z^2 - z^3 + \cdots \end{aligned}\binom{-1}{n}=(-1)^n を使いました。 これは，初項 1，公比 -z の無限等比級数の和の公式そのものですね。
例2( \sqrt{1+z}).
|z|<1 に対し，
\begin{aligned}\sqrt{1+z} &=(1+z)^{1/2} =\sum_{n=0}^\infty\binom{\frac{1}{2}}{n}z^n \\ &= 1 + \frac{1}{2}z - \frac{1}{8}z^2 + \frac{1}{16}z^3 - \cdots \end{aligned}\sqrt{1+z} のマクローリン展開が得られましたね。これにより， \sqrt{1+z}\fallingdotseq 1+z/2 の近似式も作れます。
一般二項展開の証明
一般二項展開の証明について，
- 収束半径が 1 である証明
- 等式の証明
の2つに分けて行いましょう。
1. 収束半径が1である証明
ダランベールの公式による判定法を用います。
証明
c_n=\binom{\alpha}{n} とおくと，
\begin{aligned} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right| &= \left| \frac{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)}{(n+1)!}}{\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}} \right| \\ &= \left| \frac{\alpha - n}{n + 1} \right| \xrightarrow{n\to\infty} 1 \end{aligned}となるから，ダランベールの公式による判定法により，収束半径は 1 である。
証明終
2. 一般二項展開の等式の証明
簡単に証明できる方法を採用しましょう。
証明
以下で， |z|<1 とする。(1+z)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} z^n の左辺を f(z)，右辺を g(z) とおく。 f(z)=g(z) を示そう。
f'(z)=\alpha (1+z)^{\alpha-1} であるから，
(1+z)f'(z)=\alpha f(z)である。また項別微分により，|z|<1 に対し，
\begin{aligned}&(1+z)g'(z) \\&=\sum_{n=1}^{\infty} \binom{\alpha}{n} n z^{n-1} +\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} z^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{\binom{\alpha}{n+1}(n+1)+\binom{\alpha}{n}\right\}z^n \\ &=\sum_{n=0}^\infty \alpha \binom{\alpha}{n} z^n = \alpha g(z) \end{aligned}である。ただし，最後から2つ目の等式は二項係数の定義に従って計算すればスグわかる。
ゆえに， f(z)g'(z)-f'(z)g(z)=0 である。|z|<1 に対し， f(z)\ne 0 であるから，
\left(\frac{g(z)}{f(z)}\right)'= \frac{f(z)g'(z)-f'(z)g(z)}{f(z)^2}=0したがって， g(z)/f(z) は定数であり， g(0)/f(0)=1/1=1 なので， f(z)=g(z) を得る。
証明終
関連する記事
