指数分布において，無記憶性と呼ばれる P(X>s+t\,|\,X>s) = P(X>t) という性質について解説し，「指数分布が無記憶性をもつ」ことと「連続型確率分布が無記憶性をもつ場合，それは指数分布に限る」ことの2つを証明しましょう。
指数分布の無記憶性
定理（指数分布の無記憶性）
X を指数分布， s, t > 0 とするとき，
\color{red}P(X>s+t\,|\,X>s) = P(X>t)
である。これを，無記憶性 (lack of memory property, memorylessness) という。
逆に，連続型の確率分布において，無記憶性をもつ分布は指数分布に限る。
無記憶性とは，簡単に言うと，前までのことに依存せずに次のことが起こることを意味します。
指数分布とは，「コールセンターに次に電話がかかってくるまでにかかる時間」や「電化製品が次に壊れるまでの時間」などに用いられます。「昨日コールセンターに電話がかかってきたから，今日はかかってこないだろう」とか「昨日電化製品が壊れなかったから，今日は壊れないだろう」とか，そういうことはないわけですから，この事象には，無記憶性があるといえるわけですね。
また，「連続型の確率分布において，無記憶性をもつ分布は指数分布に限る」わけですから，無記憶性をもつ，連続的なモデルを扱いたい場合は，指数分布を用いるのが最も適当であるというわけですね。
指数分布の性質まとめについては，以下の記事で解説しています。
指数分布の無記憶性の証明
さて，
- 指数分布が無記憶性をもつこと
- 無記憶性をもつ連続型確率分布が指数分布のみであること
の２つについて，順番に考えていきましょう。
指数分布は無記憶性をもつことの証明
こちらはほぼ明らかですが，証明するとこんな感じです。
証明
\begin{aligned}P(X>s+t\,|\,X>s) &= \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} \\ &= \frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}\\ &= e^{-\lambda t} \\ &= P(X>t) \end{aligned}
より，結論を得る。
証明終
無記憶性をもつ連続型確率分布が指数分布のみであることの証明
さて，逆も考えましょう。こちらは，レベルが上がりますし，少し長くなります。気を引き締めて，丁寧に進めていきましょう。
証明
s,t>0 に対し， P(X>s+t\,|\, X>s) = P(X>t) より，
P(X>s+t) = P(X>s)P(X>t).
G(t) = P(X>t)\,\,(t>0 ) とおくと， G(s+t)=G(s)G(t) である。
これより， n\ge 1 を正の整数とすると，
\begin{aligned} G(n) &= G(n-1)G(1) \\ &=G(n-2)G(1)^2 \\ &=\dots = G(1)^n \end{aligned}がわかる。また，同様に，
G(1)=G\left(n\cdot\frac{1}{n}\right)= G\left(\frac{1}{n}\right)^n
もわかるので， G(1/n) = G(1)^{1/n} を得る。さらに， m, n \ge 1 を正の整数とすると，このことから，
であるから， r\in \mathbb{Q}_{>0} とすると， G(r) = G(1)^r がわかる。
ここで， G(t) = P(X>t) であり，その形から， G は右連続であることに注意する。正の実数 \alpha \in \mathbb{R}_{>0} に対し， \{r_n\} \subset \mathbb{Q_{>\alpha}},\;\, r_n\xrightarrow{n\to\infty} \alpha+ となるような有理数列を取ると，
\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} G(\alpha) &= \lim_{n\to\infty} G(r_n) \\ &= \lim_{n\to\infty} G(1)^{r_n}\\ &= \lim_{n\to\infty} G(1)^\alpha \end{aligned}
であるから，結局， G(\alpha) = G(1)^\alpha を得る。従って， \lambda= -\log G(1) とおくと，
となる。 \lim_{\alpha\to\infty} G(\alpha) = \lim_{\alpha\to\infty} P(X>\alpha) = 0 であるから， \lambda > 0 であり，結局，
となって， X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) がわかる。
証明終
何とか証明できました。等式 G(x) = G(1)^x を「整数 → 有理数 → 実数」と順番に広げていったわけですね。
なお， f(xy)=f(x)f(y) や， f(x+y) = f(x)+f(y) は，コーシーの等式 (Cauchy’s equation) と呼ばれます。
