Gδ集合とは，開集合の可算個の共通部分で表せるような集合のことで，Fσ集合は，閉集合の可算和で表せるような集合のことです。Gδ集合・Fσ集合は互いに補集合の関係になっています。
Gδ集合・Fσ集合について，その定義と具体例を紹介し，さらに，実数値関数の連続点にまつわる面白い定理を紹介しましょう。
Gδ集合・Fσ集合の定義
定義（Gδ集合・Fσ集合）
(X,\mathcal{O}) を \mathcal{O} を開集合族とする位相空間とし，\mathcal{F} を (X,\mathcal{O}) の閉集合族とする。
部分集合 A\subset X に対し，ある開集合の列 \{O_n\}\subset \mathcal{O} が存在して，
\Large\color{red} A = \bigcap_{n=1}^\infty O_n
と表せるとき， A を G_\delta 集合 ( G_\delta set)という。
部分集合 B\subset X に対し，ある閉集合の列 \{F_n\}\subset \mathcal{F} が存在して，
\Large\color{red} B = \bigcup_{n=1}^\infty F_n
と表せるとき， B を F_\sigma 集合 ( F_\sigma set) という。
開集合の可算交叉で表せる集合が G_\delta 集合で，閉集合の可算和で表せるのが F_\sigma 集合です。
定義より，開集合 \implies G_\delta 集合だし，閉集合 \implies F_\sigma 集合ですが，逆は成立しません。開集合は，有限交叉と無限個の和で閉じていますが，可算交叉では閉じていないので， G_\delta 集合は開集合とは限りません。同じく，閉集合は有限和と無限個の交叉で閉じていますが，可算和では閉じていないので， F_\sigma 集合は閉集合とは限りません。
また定義とド・モルガンの法則により，明らかに G_\delta 集合の補集合は F_\sigma 集合で， F_\sigma 集合の補集合は G_\delta 集合です。
Gδ集合・Fσ集合の具体例
例1(\R).
実数全体の集合 \R の通常の位相について，
- 有理数全体の集合 \mathbb{Q} は F_\sigma 集合だが G_\delta 集合ではない。
- 無理数全体の集合 \R\setminus \mathbb{Q} は G_\delta 集合だが F_\sigma 集合ではない。
\mathbb{Q} は可算集合なのと，\mathbb{Q}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} \{q\} より，\mathbb{Q} は F_\sigma 集合です。同様に， \R\setminus \mathbb{Q}=\bigcap_{q\in\mathbb{Q}} (\R\setminus \{q\}) より， \R\setminus \mathbb{Q} は G_\delta 集合です。
\mathbb{Q} が G_\delta 集合でないこと・\R\setminus \mathbb{Q} が F_\sigma 集合でないことを示すのは，ベールのカテゴリー定理 (Baire’s category theorem) が必要です。
完備距離空間において，稠密 (dense) な開集合の可算族 \{U_n\} の共通部分 \bigcap_{n=1}^\infty U_n もまた稠密 (dense) である。
\R は完備距離空間なので，もし，\mathbb{Q} が G_\delta 集合だとすると，おかしいです。実際，\mathbb{Q} が G_\delta 集合として， \mathbb{Q}=\bigcap_{n=1}^\infty O_n （ O_n は開集合）とかけたとすると，\mathbb{Q} は稠密なので， \mathbb{Q}\subset O_n をみたす各 O_n は当然稠密です。すると，ベールのカテゴリー定理により，
\Bigl(\bigcap_{n=1}^\infty O_n \Bigr)\cap \Bigl(\bigcap_{q\in\mathbb{Q}} (\R\setminus \{q\}) \Bigr) =\mathbb{Q}\cap (\R\setminus \mathbb{Q})=\emptyset
も稠密になるはずですが，なっていないので矛盾しています。ゆえに，\mathbb{Q} は G_\delta 集合ではありません。補集合を考えると， \R\setminus \mathbb{Q} は F_\sigma 集合ではありません。
A\subset X を閉集合とすると，開集合 O_n=\{ x\in X\mid d(x, A)<1/n\} によって， A=\bigcap_{n=1}^\infty O_n と表せるので， A は G_\delta 集合です。補集合を考えることで，後半も言えます。
例3(補有限位相).
X を空でない集合とする。
\mathcal{O}_f=\{\emptyset\}\cup \{ O\subset X\mid X\setminus O \text{ is finite}\}
を，補集合が有限集合である部分集合全体（と \{\emptyset\} との和集合）とすると， (X,\mathcal{O}_f) は位相空間になる。この位相を補有限位相 (cofinite topology, finite complement topology) という。
自分で考えてみてください。
補有限位相の性質については，以下で詳しく解説しています。
Gδ集合の面白い性質
G_\delta 集合にまつわる面白い定理を一つ紹介しましょう。
定理（連続点は G_\delta 集合）
関数 f\colon \R\to \R における連続点全体の集合を
C_f=\{ c\in \R\mid \lim_{x\to c} f(x)=f(c)\}
とする。このとき， C_f は \R における G_\delta 集合である。
逆に， C\subset \R を G_\delta 集合とするとき，関数 f\colon \R\to \R で C_f=C となるものが存在する。
この定理と例2.から，有理数で不連続・無理数で連続な関数は作れますが，その逆で，無理数で不連続・有理数で連続な関数は作れないことが分かります。有理数で不連続・無理数で連続な関数はトマエ関数 (Tomae function) が有名です。トマエ関数とは，
f(x) = \begin{dcases} 1/p & x = q/p \;\; (p\ge 1, \, \operatorname{gcd}(p,q)=1), \\ 0 & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \\ 1 & x=0\end{dcases}
をみたす関数のことです。以下で解説しています。
定理を証明しましょう。
定理の証明
前半について
開集合 U\subset \R に対し，
\operatorname{diam } f(U)=\sup_{x,y\in U} |f(x)-f(y)|
を，像 f(U) の直径 (diameter) とする。 \R の開集合族を \mathcal{O} とすると，
であることを示そう。 c\in C_f とすると，連続の定義より，任意の n\ge 1 に対し，ある開近傍 (c\in) U\in \mathcal{O} が存在して，y\in U\implies |f(y)-f(c)|\le 1/(2n) とできる。このとき， x,y\in U に対し，
なので， \operatorname{diam}f(U)\le 1/n となる。よって， c \in \bigcap_{n=1}^\infty ( \bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O} \\ \operatorname{diam} f(U)\le 1/n}} U) である。
逆に， c\in \bigcap_{n=1}^\infty ( \bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O} \\ \operatorname{diam} f(U)\le 1/n}} U) とすると，任意の n\ge 1 に対し，ある U\in\mathcal{O} が存在して， c\in U かつ \operatorname{diam} f(U)\le 1/n とできる。ゆえに，任意の n\ge 1 に対し，ある開近傍 (c\in )U\in\mathcal{O} が存在して，
x\in U\implies |f(x)-f(c)|\le \frac{1}{n}
となるが，これは連続の定義そのものであるから， c\in C_f である。ゆえに赤字の式が示せた。赤字の式は， C_f が G_\delta 集合であることを示している。
後半について
C を G_\delta 集合とすると，開集合族 \{O_n\}\subset\mathcal{O} に対し， C = \bigcap_{n=1}^\infty O_n と表せる。
U_0=\R,\quad U_n =\bigcap_{k=0}^n O_k
と定めると， U_n は開集合で， U_0\supset U_1\supset U_2\cdots かつ C=\bigcap_{n=0}^\infty U_n である。 n=0,1,2,\ldots に対し， V_n = U_n\setminus U_{n+1} とおくと， \{V_n\} はどの2つも共通部分をもたず， \R\setminus C=\bigsqcup_{n=0}^\infty V_n である。ただし， \bigsqcup は非交和を表す。さらに W_n = V_n\setminus \bigl(\operatorname{Int}(V_n)\cap \mathbb{Q}\bigr) とする。ただし， \operatorname{Int}(V_n) は V_n の内部(開核)である。 W_n\subset V_n より， \{W_n\} もどの2つも共通部分をもたない。
とすると，これが目的の関数であることを示そう。 x\in \R\setminus C=\bigsqcup_{n=0}^\infty V_n とする。このとき，唯一つの n\ge 1 が存在して， x\in V_n とできる。 x\in \operatorname{Int}(V_n)\cap \mathbb{Q} のとき， f(x)=0 となる。 x\in \operatorname{Int} (V_n) より，ある \delta >0 が存在して， (x-\delta, x+\delta) \subset V_n とできる。ゆえに，任意の \varepsilon >0 で (x-\varepsilon, x+\varepsilon )\cap W_n\ne \emptyset なので， x \notin C_f である。また， x\in W_n のときは， f(x)=1/n となるが，任意の \varepsilon >0 について， (x-\varepsilon, x+\varepsilon ) \cap\mathbb{Q}\ne \emptyset となるので， x\notin C_f である( q\in\mathbb{Q} のとき常に f(q)=0 であることに注意)。
x\in C = \bigcap_{n=0}^\infty U_n とする。このとき，x はどの V_n にも入らないので， f(x)=0 である。 x\in \cdots \subset U_2\subset U_1\subset U_0 なので，任意の n\ge 1 について， U_n は x の開近傍であり， U_n = U_{n+1}\sqcup V_n = C\sqcup (\bigsqcup_{k=n}^\infty V_k) なので， y\in U_n\implies |f(y)-f(x)|=|f(y)|\le 1/n とできる。したがって， x\in C_f である。
以上から， C_f=C が示された。
証明終
後半の関数の構成方法は，トマエ関数のときと似ていますね。
