重積分の変数変換の方法とその例題～極座標変換の解説付き～

重積分の変数変換の方法と，その例題を2つ紹介します。まずは2重積分の場合を考え，それから一般の多重積分の場合について述べます。

2重積分の変数変換
2重積分の変数変換の例題
多重積分の変数変換
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2重積分の変数変換

まずは，2重積分を考えることにしましょう。

定理（2重積分の変数変換）

$D\subset \mathbb{R}^2$ を2次元領域とし， $\phi, \psi \colon D\to \mathbb{R}$ は $C^1$ 級とする。

変数変換 $x=\phi(u,v),\, y=\psi(u,v)$ により， $xy$ 平面上の領域 $D$ と $uv$ 平面上の領域 $E$ が1対1にうつり合っているとする。このとき， $D$ 上広義可積分な連続関数 $f(x,y)$ に対して，

\color{red} \begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv. \end{aligned}

ただし，

\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =\det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}

はヤコビアン（ヤコビ行列の行列式）を指す。

dxdy= \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv

ですね。ヤコビアンに絶対値がついていますから，行列式そのものではなく，行列式の絶対値をかけていることに注意してください。

変数変換のための条件がいろいろ付いていますが，学部生がテストで出るような積分に関しては，特に気にしなくても，すべての条件を満たしているでしょう。

1変数の積分の変数変換と比較してみましょう。

1変数	2変数
$x=\varphi(t)$	$x=\phi(u,v),\; y=\psi(u,v)$
$\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx\\ &= \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\frac{dx}{dt}dt\end{aligned}$	$\begin{aligned}&\int_D f(x,y)\, dxdy \\ &= \int_E f(\phi(u,v),\psi(u,v))\,\left\| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right\| dudv. \end{aligned}$
$dx=\frac{dx}{dt}dt$	$dxdy= \left\| \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right\| dudv$

形を見ると，ほぼ同じだということが分かるでしょう。ヤコビ行列は，普通の関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ の微分を $\mathbb{R}^m \to\mathbb{R}^n$ に拡張したものですから，やっていることはほぼ同じなのです。

唯一，絶対値の有無に違いがありますが，それは，積分に向きがあるかの違いです。1変数の積分は， $\int_a^b = -\int_b^a$ のように向きを考えますが，多変数の積分では，そういったことは普通しないため，絶対値がついています。

そもそも，1変数の場合の置換積分において， $dx=\frac{dx}{dt}dt$ の $dx/dt$ の部分は，変数変換によって生じるスケール変換を調整するためのものでした。これは，多変数のときも同様です。以下の図を見てください。

厳密な議論ではありませんが，スケール変換のイメージがつくのではないでしょうか。

2重積分の変数変換の例題

ここからは，例題を考えましょう。

例題1.

$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x+y \le 1,\, 0\le x-y\le 1\}$ とする。 $\displaystyle \iint_D (x^2-y^2)\,dxdy$ を求めよ。

積分領域 $D$ を図示すると，以下のようになります。

置換積分を用いて解きましょう。

解答

$u=x+y,\, v=x-y$ とする。すなわち， $x=(u+v)/2,\, y=(u-v)/2$ である。これにより，ヤコビアンについて

\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =\det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} =-1/2\end{aligned}

であるから，

\begin{aligned}\!\! \iint_D (x^2-y^2)\,dxdy&= \iint_D (x+y)(x-y)\, dxdy \\ &=\int_0^1\int_0^1 uv\,|-{1/2}| dudv \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 \left[\frac{1}{2}u^2v\right]_{u=0}^1 \,dv \\ &= \frac{1}{4} \int_0^1 v\,dv \\&= \frac{1}{8}.\end{aligned}

例題2.

$B=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ とする。 $\displaystyle \iint_C \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy$ を求めよ。

広義重積分です。これは，極座標変換することで計算できる典型的な問題です。やってみましょう。

解答

$x=r\cos\theta, \, y=r\sin\theta \; (r>0)$ のように極座標変換すると，ヤコビアンについて，

\begin{aligned} \frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)} &=\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta& r\cos\theta \end{pmatrix}\\ &= r \cos^2\theta +r\sin^2\theta = r\end{aligned}

であるから，

\begin{aligned} &\iint_C \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dxdy\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^{1} \frac{1}{r}|r|\,drd\theta\\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{1} drd\theta\\ &= 2\pi. \end{aligned}

個人的には， $\color{red} \boldsymbol{dxdy=r\,drd\theta}$ は覚えておくとよいと思います。極座標変換で解く場面は，テストではよくあります。

多重積分の変数変換

変数の数が増えても同様です。多重積分の変数変換を紹介しておきましょう。

定理（多重積分の変数変換）

$D\subset \mathbb{R}^n$ を $n$ 次元領域とし， $\phi_1,\dots,\phi_n \colon D\to \mathbb{R}$ は $C^1$ 級とする。

変数変換 $x_1=\phi_1(u_1,\dots,u_n),\, x_n=\phi_n(u_1,\dots, u_n)$ により， $x_1,\dots,x_n$ に関する領域 $D$ と $u_1,\dots, u_n$ に関する領域 $E$ が1対1にうつり合っているとする。このとき， $D$ 上広義可積分な連続関数 $f(x_1,\dots, x_n)$ に対して，