一様収束 (uniformly convergence) と各点収束 (pointwise convergence) の顕著な違いとして，連続関数列の極限が再び連続関数になるという性質が挙げられます。このことの証明と，なぜ一様収束でないとこの性質が言えないのかを考えてみましょう。

連続関数の列が単調増加に連続関数へ各点収束するとき，一様収束が言える「ディニの定理 (Dini's theorem) 」と呼ばれる定理があります。本記事ではこの定理の紹介とポイント解説，最後に証明を行います。証明のみ位相空間論の知識が必要です。

アスコリ–アルツェラの定理（Ascoli–Arzelà theorem）は，解析学でよく使われる定理の一つですが，用語が難しく，適用条件にも注意が必要です。まず必要な用語として，「一様有界性」と「同程度連続性」の定義をし，定理を紹介します。