解析学(大学)その他 劣加法性を持つ関数の定義と性質 劣加法的関数 (subadditive function) ・優加法的関数 (superadditive function) の定義とその具体例,そして性質(極限挙動・連続性など)について,証明つきで解説します。 2021.02.11 解析学(大学)その他
微分積分学(大学) 中間値の定理とは~主張・証明と何が本質なのかを解説~ 中間値の定理とは,「連続関数なら,間の値を全て取る」という一見当たり前の定理です。これについて,その主張と,その証明を紹介します。さらに,根底にある「当たり前の性質」が何なのかも考えましょう。最後に位相空間論の言葉を用いた主張も述べます。 2021.02.10 微分積分学(大学)集合と位相
微分積分学(大学) 【最大値の定理】有界閉区間上の連続関数は最大値を持つことの証明 最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる,連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ,注意点を列挙してから,証明します。最後に多次元の場合も扱います。 2021.02.09 微分積分学(大学)
記号・記法 定義・公理・定理・命題・補題・系を完全理解しよう 数学でよく出てくる「定義・公理・定理・命題・補題・系」について,何を表しているか,それらの違いを解説します。これらを正しく理解しておくことは,数学を学ぶ上で必須ですので,完全理解を目指しましょう。 2021.02.08 記号・記法
微分積分学(大学) ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理とその証明 大学教養数学のさまざまなところに登場する,ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano–Weierstrass Theorem) について紹介します。まず1次元の場合を紹介し,次に多次元の場合を紹介して,最後に位相空間論の言葉を用いて述べます。 2021.02.07 微分積分学(大学)集合と位相
微分積分学(大学) C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ C^1級関数(または連続微分可能)やC^n級関数,C^∞級関数の定義とその具体例について紹介します。1変数の場合はもちろん,最後に多変数の場合も扱います。よく出てくる用語ですから,しっかりと抑えておきましょう。 2021.02.06 微分積分学(大学)
記号・記法 sign関数(sgn関数,符号関数)とは何か sign 関数または sgn 関数とは,符号関数と言われる便利関数の一つです。定義と性質を述べます。最後には群論や線形代数で出てくる「置換における符号関数」も紹介します。 2021.02.05 記号・記法
LaTeX ギリシャ文字一覧とLaTeXでの出力方法 数学では,ギリシャ文字 (Greek alphabet) がよく使われます。ギリシャ文字の一覧とその読み方,LaTeXにおける出力方法をまとめておきます。 2021.02.04 記号・記法LaTeX
微分積分学(大学) 有界閉区間上の連続関数は一様連続になることの証明 一様連続性は連続性より強い概念ですが,有界閉区間上であれば,連続性だけで一様連続が従います。この定理を証明していきましょう。一様連続性は数学において,便利な性質の一つです。そのため,連続から一様連続が従うのはとても嬉しいことです。 2021.02.03 微分積分学(大学)