リースの表現定理とその証明

リースの表現定理とは，ヒルベルト空間上の有界線形汎関数は，内積の形で書けるということを主張する定理です。

リースの表現定理について，その主張と証明を紹介し，さらにその帰結として，ヒルベルト空間とその双対空間はある意味「同一視」できることを証明します。

リースの表現定理とその証明
リースの表現定理からの帰結
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リースの表現定理とその証明

本記事では， $x,y$ の内積を $\langle x, y\rangle$ と表記します。

リースの表現定理 (Riesz’s representation theorem)

$H$ をヒルベルト空間とし， $H^*$ をその双対空間(有界線形汎関数全体のなす空間)とする。このとき，任意の $f\in H^*$ に対し，ある $y\in H$ が一意的に存在して，

\Large \color{red}f(x)=\langle x, y\rangle ,\quad x\in H

とできる。

ヒルベルト空間上の有界線形汎関数は，常に内積の形で書けるということですね。証明しましょう。

証明

$f=0$ なら， $y=0$ とすればよい。 $f\in H^*\setminus\{0\}$ のとき

$N=\operatorname{Ker} f$ と定める(→Kernel)と， $N\subsetneq H$ であり， $f$ の連続性から $N$ は閉部分空間である。射影定理より， $H=N\oplus N^\perp$ である。 $y'\in H^\perp$ を $f(y')=1$ となるようにとる。このとき， $x\in H$ に対し， $x-f(x)y'\in N$ なので， $x-f(x)y' \perp y'$ に注意して，

\begin{aligned}\langle x, y'\rangle &= \langle x-f(x)y'+f(x)y' , y\rangle \\ &= \langle f(x)y' , y' \rangle =f(x)\|y'\|_H^2 .\end{aligned}

ゆえに， $y=y'/\|y'\|^2_H$ と定めると， $\langle x,y\rangle =f(x)$ となる。

$y$ の一意性を示す。一意でないとして， $y_1,y_2\in H$ が $f=\langle \cdot, y_1\rangle=\langle \cdot, y_2\rangle$ をみたすなら， $\langle \cdot ,y_1-y_2\rangle$ は零写像であるが， $\langle y_1-y_2, y_1-y_2\rangle =\|y_1-y_2\|^2\ne 0$ に矛盾する。