大学教養

n次正方行列A, Bが相似であるとは，あるn次正則行列(すなわち逆行列が存在する行列)Pが存在して，B=P^{-1}APとなることを指します。これについて，その定義と線形写像の表現行列との関係性，性質とその証明を解説します。

有限次元ベクトル空間において，別の2つの基底を取ったときに，その関係性を述べる「基底の変換行列」について，その定義と性質を分かりやすく紹介します。「線形写像の表現行列」との比較も行います。

数(ランク; rank)とは，それに対応する線形写像の像の次元であり，これは，行基本変形で階段行列に変形することで，求めることができます。これについて，定義の詳細と，行基本変形で階段行列にする具体的な例題を紹介しましょう。

線形写像と行列の間には，非常に深い関係があります。それは，線形写像は行列を用いて表現することができるというものです。この行列は，「表現行列」や「線形写像の行列表示」と言われます。このことについて，具体例も交えながら紹介していきましょう。

ベクトル空間における「基底 (basis)」とは，ベクトル空間の元を一次結合で表すためのものであり，「次元 (dimension)」は，その基底の個数を指します。これについての定義を述べ，具体例を挙げましょう。

ベクトルにおける一次独立・一次従属は，大学数学における難しい概念の1つでしょう。これについて，詳しく掘り下げ，具体例も多く確認していきましょう。高校生でも，ある程度は理解できると思います。