【ヴィタリ集合】ルベーグ非可測集合の存在とその証明

ヴィタリ集合とは，剰余群 $\R/\mathbb{Q}$ における各代表元の集合を指し，選択公理を仮定することで存在が認められます。ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合の例として有名です。

ヴィタリ集合について，その構成とルベーグ非可測であることの証明を行いましょう。

ヴィタリ集合とは
ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合
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ヴィタリ集合とは

本記事では群論の基礎を仮定し，簡潔に述べることにしましょう。

定義（ヴィタリ集合）

剰余群(商群) $\R/\mathbb{Q}$ について，各剰余類の代表元を $[0,1)$ の元として取ることで， $\R/\mathbb{Q}\subset [0,1)$ とみなす。これは選択公理より可能である。

このときの $V=\R/\mathbb{Q} \subset [0,1)$ をヴィタリ集合 (Vitali set) という。

$\R/\mathbb{Q}$ の各元は

r+\mathbb{Q} = \{ r+q\mid q\in\mathbb{Q}\}

という形をしており，これを $\R$ における $\mathbb{Q}$ の剰余類 (residue class) といいます。このときの $r$ を剰余類 $r+\mathbb{Q}$ の代表元といい，

r+\mathbb{Q}=r'+\mathbb{Q}\iff r-r'\in \mathbb{Q}

ですから，代表元の取り方は無数にあります。各剰余類に対し，その代表元を $r\in [0,1)$ になるように取ったとしましょう(ここで選択公理を用います)。代表元の集合を $V\subset [0,1)$ とすると，

\mathbb{R}/\mathbb{Q}=\{ r+\mathbb{Q}\mid r\in V\}

であり， $V$ の各元 $v,v'\in V,\; v\ne v'$ はそれぞれ異なる剰余類の代表元 ( $v+\mathbb{Q}\ne v'+\mathbb{Q}$ ) ですから， $v-v'\notin \mathbb{Q}$ が成り立ちます。各剰余類は $\R$ を「同値類で分割」するということでしたから，

\R = \sum_{v\in V} (v+\mathbb{Q})

です(右辺は集合の非交和を意味します)。また，これを変形して，

\begin{align}\R &= \sum_{v\in V} (v+\mathbb{Q}) \\ &= \sum_{v\in V} \sum_{q\in\mathbb{Q}} \{v+q\}\\ &= \sum_{q\in\mathbb{Q}} \sum_{v\in V} \{v+q\}\\ &= \sum_{q\in\mathbb{Q}} (V+q) \end{align}

が成り立ちます。和の交換をしていますが，集合の和集合を考えているだけなので，問題ありません。

なお，(選択公理を認めると)代表元の選び方は一通りではないので，ヴィタリ集合 $V$ は一意に定まる集合ではありません。

ヴィタリ集合はルベーグ非可測集合

次は非常に有名です。

定理（ヴィタリ集合はルベーグ非可測）

ヴィタリ集合 $V\subset [0,1)$ はルベーグ非可測集合である。

背理法で証明します。 $[0,1)$ を $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と同一視することで，証明が明快になります。

証明

$V\subset [0,1)=\R/\mathbb{Z}$ をルベーグ可測とする。このとき， $(4)$ 式を考えると，

[0,1)= \sum_{q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)} (V+q)\quad\text{in } \R/\mathbb{Z}

である(右辺は非交和)。 $\mu$ をルベーグ測度とすると，測度の可算加法性より，

\begin{equation}\mu([0,1)) = \sum_{q\in\mathbb{Q}\cap [0,1)} \mu(V+q).\end{equation}

ルベーグ測度の平行移動不変性より，任意の $q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)$ に対して， $\mu(V+q)=\mu(V) \text { in } [0,1)= \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ である。 $(5)$ 式より，

\begin{equation} 1=\sum_{q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)} \mu(V).\end{equation}

$\mu(V)=0$ とすると， $(6)$ 式は $1=0$ となって矛盾し， $\mu(V)>0$ とすると， $1=\infty$ となって矛盾する。よって， $V$ はルベーグ可測でない。

証明終

群論が分かっていないと， $\R/\mathbb{Z}$ 上で考えているというのが分からないかもしれません。 $\R/\mathbb{Q}=(\R/\mathbb{Z})/(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ から，最初から ${}\bmod \mathbb{Z}$ で考えていると思うのが，しっくりくるでしょう。

なお，今回は選択公理を仮定しましたが，選択公理なしでは，ルベーグ非可測集合が作れないことも知られているようです。