PR

【アダマール積】行列の要素ごとの積

線形代数学
記事内に広告が含まれています。

行列の積」というと,難しい定義のものが一般的ですが,行列の要素・成分ごとの積であるアダマール積について紹介します。

行列のアダマール積の定義

定義(アダマール積)

A = (a_{ij}) , B = (b_{ij}) m \times n 行列とする。このとき,そのアダマール積 (Hadamard product) \color{red}C = A \odot B (または \color{red}C = A \circ B ), C=(c_{ij})

\color{red} c_{ij} = a_{ij} b_{ij}

で定義する。すなわち,

\color{red}\scriptsize \begin{aligned} &\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12}& \ldots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \ldots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \ldots & a_{mn} b_{mn} \end{pmatrix}\end{aligned}


と定義する。

こちらの方が,積としては自然と感じるかもしれません。ポイントは以下です。

Point~アダマール積~
  • アダマール積は同じ形の行列に対して定義され,同じ形の行列を返す。

具体例を挙げましょう。

アダマール積の具体例

アダマール積の具体例

  • \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}.
  • \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} .

アダマール積の性質

簡単な性質を確認しておきましょう。

命題(アダマール積の性質)

A, B, C m\times n 行列, O m\times n 零行列とすると,

  • (A \odot B) \odot C = A \odot (B \odot C) (結合法則).
  • A\odot B = B \odot A (交換法則).
  • (A + B) \odot C = A \odot C + B \odot C (分配法則).
  • O \odot A = A\odot O = O .

ほぼ明らかのため,証明は省略します。