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有界とは何か~有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)~

微分積分学(大学)
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有界とは,簡単に言うと \infty (無限遠)に飛んでいかないということです。

特に,有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)の3つについて,その定義を考えてみましょう。

有界数列

定義(数列の有界性)

\{a_n \} を数列とする。 \{a_n\} 有界 (bounded) であるとは,ある K > 0 が存在して,

\color{red} |a_n| < K, \quad n \ge 1


が成立することである。

n\ge 1 に依存せずに上からある定数 K で抑えられるということですね。
|a_n| < K, \,\, n \ge 1 」とは,「任意の n \ge 1 に対して, |a_n| < K 」と同じ意味です。

なお,絶対値さえ定義されれば,数列ではなくもっと一般の点列でも構いません。

有界な数列のイメージ

有界な数列のイメージ

有界でない数列のイメージ

有界でない数列のイメージ

有界でない数列は無限遠に飛んでいきますね。

有界関数

定義(関数の有界性)

f\colon A \to \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} とする。 f 有界 (bounded) であるとは,ある K > 0 が存在して,

\color{red}|f(x)| < K , \quad x \in A


が成立することである。

x \in A に依存せずに上からある定数 K で抑えられるということですね。
|f(x)| < K , \,\, x \in A 」とは,「任意の x \in A に対して |f(x)| < K 」と同じ意味です。

なお, f の終域は,絶対値(に相当するもの)が定義される空間であれば, \mathbb{R} \mathbb{C} 以外でも,なんでも構いません。

有界な関数のイメージ

有界な関数のイメージ

有界でない関数のイメージ

有界でない関数のイメージ

有界でない関数は無限遠点に飛んでいきますね。

有界集合

定義(集合の有界性)

A \in \mathbb{R}^n 有界 (bounded) であるとは,ある R>0 が存在して,

\color{red} A \subset B(0; R)


が成立することである。ただし,

B(0; R) = \{ (a_1, \dots , a_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \dots + x_n^2 \le 1 \}


( 0 を中心とする半径 R n 次元球)と定義する。

A \subset B(0; R) 」とは,「任意の x\in A に対して, x \in B(0; R) 」と同じ意味です。

有界な集合のイメージ

有界な集合のイメージ

有界でない集合のイメージ

有界でない集合のイメージ

有界でない集合は,集合が無限遠に伸びていますね。

有界区間

\mathbb{R}^n において, n=1 としましょう。このとき,特に \infty < a < b < \infty に対し,区間 \color{red} (a,b), [a, b], [a, b), (a, b] 有界区間といいます。

実際, R=\max\{|a|, |b|\} とすると, [a, b] \subset [-R, R] (他も同様) ですし,「無限遠に飛ばない」と言えますね。

有界に関する話題

有界に関する話題をいくつか列挙しておきましょう。