有界とは何か～有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)～

有界とは，簡単に言うと $\infty$ (無限遠)に飛んでいかないということです。

特に，有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)の3つについて，その定義を考えてみましょう。

有界数列

定義（数列の有界性）

$\{a_n \}$ を数列とする。 $\{a_n\}$ が有界 (bounded) であるとは，ある $K > 0$ が存在して，

\color{red} |a_n| < K, \quad n \ge 1

が成立することである。

$n\ge 1$ に依存せずに上からある定数 $K$ で抑えられるということですね。
「 $|a_n| < K, \,\, n \ge 1$ 」とは，「任意の $n \ge 1$ に対して， $|a_n| < K$ 」と同じ意味です。

なお，絶対値さえ定義されれば，数列ではなくもっと一般の点列でも構いません。

有界でない数列は無限遠に飛んでいきますね。

定義（関数の有界性）

$f\colon A \to \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C}$ とする。 $f$ が有界 (bounded) であるとは，ある $K > 0$ が存在して，

\color{red}|f(x)| < K , \quad x \in A

が成立することである。

$x \in A$ に依存せずに上からある定数 $K$ で抑えられるということですね。
「 $|f(x)| < K , \,\, x \in A$ 」とは，「任意の $x \in A$ に対して $|f(x)| < K$ 」と同じ意味です。

なお， $f$ の終域は，絶対値(に相当するもの)が定義される空間であれば， $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ 以外でも，なんでも構いません。

有界でない関数は無限遠点に飛んでいきますね。

定義（集合の有界性）

$A \in \mathbb{R}^n$ が有界 (bounded) であるとは，ある $R>0$ が存在して，

\color{red} A \subset B(0; R)

が成立することである。ただし，

B(0; R) = \{ (a_1, \dots , a_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \dots + x_n^2 \le 1 \}

( $0$ を中心とする半径 $R$ の $n$ 次元球)と定義する。

「 $A \subset B(0; R)$ 」とは，「任意の $x\in A$ に対して， $x \in B(0; R)$ 」と同じ意味です。

有界でない集合は，集合が無限遠に伸びていますね。

$\mathbb{R}^n$ において， $n=1$ としましょう。このとき，特に $\infty < a < b < \infty$ に対し，区間 $\color{red} (a,b), [a, b], [a, b), (a, b]$ を有界区間といいます。

実際， $R=\max\{|a|, |b|\}$ とすると， $[a, b] \subset [-R, R]$ (他も同様) ですし，「無限遠に飛ばない」と言えますね。

有界に関する話題をいくつか列挙しておきましょう。