【最大値の定理】有界閉区間上の連続関数は最大値を持つことの証明

微分積分学(大学)

最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる,連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ,注意点を列挙してから,証明します。

最大値・最小値の定理の主張

定理(最大値・最小値の定理)

I \subset \mathbb{R} を(有界)閉区間とし, f\colon I \to \mathbb{R} を連続関数とする。
このとき, f I 上で最大値と最小値をもつ。

最大値定理のイメージ
有界閉区間上連続な関数は最大値・最小値をもつ

ここで,「有界閉区間」とは, -\infty < a < b < \infty があって, I = [a, b] と表される区間のことを指します。
単に「閉区間」ということもありますが,位相空間論(という分野)における閉集合の定義では,\mathbb{R}\mathbb{R} = (-\infty, \infty) は閉区間とも言えますので,「有界」という言葉を付けています。(有界性に関しては,有界とは何か~有界数列(点列)・有界関数・有界集合(区間)~も確認してください。)

ここでのポイントは以下の3つです。その「ポイント」が成り立たないときの反例も含めて,確認していきましょう。

最大値の定理のPoint
  • 閉区間であること
    → もし I = (0,1)(開区間)とし, f(x) = x とすると, f は最大値・最小値を持たなくなってしまう。
  • 連続関数であること
    → もし I = [0, 1] とし, f(x) = \begin{cases} 1/x &x \in (0, 1], \\ 0 & x = 0 \end{cases} (連続でない)と定めると,これは最大値を持たなくなってしまう。
  • 閉区間は有界であること
    → もし, I = (-\infty, \infty) とする(これも広義の閉区間!)と, f(x) =x はこの上で最大値・最小値を持たなくなってしまう。

「有界閉区間」上の「連続」関数であることが重要なことが分かったと思います。

最大値の定理の証明

「有界閉区間」,「連続」がどこで使われているか確認しながら読み進めていきましょう。

証明

最大値が存在することのみを証明すれば, -f を考えることで最小値の存在にも適用できるため,最大値のみ考える。

M = \sup_{x\in I} f(x) \in (-\infty, \infty] とおく。このとき,ある点列 \{a_n\} \in I が存在して, f(a_n) \to M \,\, (n\to\infty) となる。

一方で, I有界であったから,ボルツァノ-ワイエルシュトラス (Bolzano-Weierstrass) の定理により, \{a_n\} は収束部分列 \{a_{n_k}\} をもつ。特に, Iなので, a_{n_k} \to a \in I \,\, (n\to \infty) である。

f連続であるため,上記のことから, f(a_{n_k}) \to f(a) となる。よって, f(a) = M であり,特に M < \infty でもあり, f x = a \in I で最大値を持つ。

証明終

ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理が鍵になりました。

多次元の場合の最大値の定理

\mathbb{R}^n 上の関数についても,まったく同様の証明で以下が成立します。

定理(最大値・最小値の定理;多次元版)

D \subset \mathbb{R}^n を有界閉領域とし, f\colon D \to \mathbb{R} を連続関数とする。
このとき, f D 上で最大値と最小値をもつ。

最大値・最小値の定理に関する補足

連続関数 f は, a\le x \le b 上最大値をもつことが分かったので, \max_{a\le x\le b} f(x) が意味を持ち,

\textcolor{red}{ \max_{a\le x\le b} f(x) = \sup_{a\le x\le b} f(x)}


が成立します。教科書などで,右辺でなく左辺のように書かれたときは,この定理を使っており,読み手に「最大値の定理くらい知ってるよね」と暗に主張しているのです。
こういったことはよくありますから,この定理は忘れないようにしましょう。

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