大学数学でよく使われる「定義関数（指示関数，特性関数ともいう）」について解説します。その定義自体は難しいものではなく，いわゆる「便利記号」の一つです。
注釈なしで出てくることがあるので，覚えておきましょう。
なお，確率論では，「特性関数」というと，ここでいう「定義関数」とは意味が変わります。今回は確率論の文脈の特性関数を解説しているわけではないので，注意してください。
確率論の特性関数については，いずれ記事にしたいと思います。
それでは解説に移りましょう。
定義関数(指示関数,特性関数)の定義
定義（定義関数，指示関数，特性関数）
集合 A に対し，
\textcolor{red}{1_A (x) = \begin{cases} 1 & x \in A,\\ 0 & x \notin A \end{cases}}
となる関数 1_A を定義関数 (指示関数, indicator function) または特性関数 (characteristic function) という。定義関数は 1_A だけでなく，
などと書かれることが多い（ \chi はギリシャ文字「カイ」）。
また， x に依存する命題 P(x) に関して，
\textcolor{red}{1_P(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } P(x)\text{ is true} \\ 0, & \text{if } P(x)\text{ is false} \\ \end{cases} }
として用いる場合もある（trueは真，falseは偽の意味）。
なお本サイトでは，3つの表記のうち， 1_A という表記を一貫して採用します。
定義関数(指示関数,特性関数)の具体例
早速，具体例を確認していきましょう。
例1.（積分）
f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} を（積分ができる）関数とする。このとき，
\int_{\mathbb{R}} f(x) 1_{[-1, 1]} (x) dx = \int_{-1}^1 f(x) dx
である。
積分区間を制限するのに用いるやり方ですね。
例2.（積分その2）
A \subset \mathbb{R}^2 を”性質の良い”集合（すなわち面積確定集合）とすると， A の面積は
\int_{\mathbb{R}^2} 1_A (x) dx = \int_A dx
として定義される。
大学生が最初に定義関数を見るのが，もしかしたら「面積」や「体積」を積分で定義する場面だったかもしれません。
例3.（場合分け）
A_1, A_2, \ldots, A_n を互いに素な集合とする。このとき，
f(x) = \begin{cases} a_1, & \text{ if } x \in A_1 \\ a_2, & \text{ if } x \in A_2 \\ \ldots & \ldots \\ a_n& \text{ if } x \in A_n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}
となる関数 f は，定義関数を用いると，
とかける。
場合分けにもうまく適用できました。
例4.（場合分けその2）
[x] は， x を超えない最大の整数を表すとすると，
\begin{aligned} [x] &= \sum_{n=-\infty}^\infty n \, 1_{[n, n+1)} (x) \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty n \, 1_{n \le x <n+1}(x) \end{aligned}
となる。
最後の例の最後の書き方は，「集合」を添え字にするのではなく， n \le x < n+1 という「命題」を添え字にしていると思えます。
まとめ
定義関数（指示関数，特性関数）は，大学数学において特に注釈なく出てくることがあります。 1_A, 1\hspace{-2.5mm}1_A, \chi_A のどの表記で出てきても良いように，しっかりと覚えておくようにしましょう。
