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ファンデルモンドの行列式とその証明2つ

線形代数学
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ファンデルモンドの行列式 (ヴァンデルモンドの行列式; Vandermonde determinant) といわれる特殊な行列式について紹介し,それを2通りの方法で証明します。

ファンデルモンド行列の定義

定義(ファンデルモンド行列)

以下の n 正方行列

\color{red} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}


ファンデルモンド行列 (Vandermonde matrix) という。

なお,上の転置行列である

\color{red} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots &1\\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}

をファンデルモンド行列とすることもあります。一般に \det A = \det A^\top であるため(→証明はこちら)どちらで定義しても行列式は一致します。

ファンデルモンドの行列式

ファンデルモンド行列の行列式( \det )をファンデルモンドの行列式 (Vandermonde determinant) といいます。これについて,以下が成り立ちます。

定理(ファンデルモンドの行列式)

\color{red} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{i<j} (x_j - x_i)


が成立する。

これについて,

  • 因数定理を用いた証明
  • 帰納法を用いた証明

の2通りで証明しましょう。

因数定理を用いたファンデルモンド行列式の証明

証明

行列式の定義から,求める行列式は 0 + 1 + \dots +(n-1) = n(n-1)/2 次の多項式であることに注意する。

x_i = x_j \, (i < j ) と仮定しよう。このとき,ファンデルモンド行列の第 i, j 行は一致するから,行列式は 0 となる。よって因数定理により行列式は (x_j - x_i) を因数に持つ。

故に,求める行列式は \prod_{i<j} (x_j-x_i) で割り切れる。 \prod_{i<j} (x_j - x_i) n(n-1)/2 次の式であるから,求める行列式はこれ以外に(定数以外の)因数を持たない。すなわち,求める行列式は

c \prod_{i<j} (x_j-x_i)


の形である。ファンデルモンド行列の対角成分の積である x_2 x_3^2 \dots x_n^{n-1} の係数を両辺で比較することで, c = 1 を得る。

証明終

帰納法を用いたファンデルモンド行列式の証明

証明

行列式(det)の定義と現実的な求め方~計算の手順~に従って,式変形していく(式変形の詳細は後で解説してある)。

\small \begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots &x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1& x_2^2 - x_1^2& \dots & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2& \dots & x_n^{n-1}- x_1^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2^2 - x_1^2& \dots & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2& \dots & x_n^{n-1}- x_1^{n-1} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2^2 - x_1x_2& \dots & x_2^{n-1} - x_1x_2^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n^2 - x_1x_n& \dots & x_n^{n-1}- x_1x_n^{n-2} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2 - x_1& x_2(x_2-x_1)& \dots & x_2^{n-2}(x_2-x_1) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_n - x_1 & x_n(x_n- x_1)& \dots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{vmatrix} \\ &= \prod_{j=2}^n (x_j-x_1) \begin{vmatrix} 1& x_2 & \dots & x_2^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{aligned}

ただし,式変形は以下の手順で行った。

  1. 1 行の -1 倍を他の行に加える
  2. 1 列に対して展開する
  3. k 列の -x_1 倍を第 k+1 列に加える
  4. 因数をまとめる
  5. k 行を (x_{k+1} - x_k ) で割る

よって数学的帰納法により,結論が従う。

証明終

有用な行列式の1つですから,覚えておくとよいでしょう。

その他の有用な行列式

一般の行列式の性質については,以下の記事を参照してください。