行列単位とは～定義と性質～

行列単位とは， $(i,j)$ 成分のみが $1$ で，それ以外の成分が $0$ となる行列を指します。これについて，その定義と積に関する性質を紹介します。

行列単位の定義
行列単位の性質
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行列単位の定義

定義（行列単位）

$(i,j)$ 成分のみが $1$ でそれ以外の成分が $0$ である $m\times n$ 行列 $\color{red} E_{ij}$ を行列単位 (matrix unit)という。

注意ですが，単位行列 (identity matrix) とは定義が違います。比較のために，単位行列の定義を述べておきましょう。

比較～単位行列とは～

$n$ 次正方行列において，(左上から右下への)対角成分のみ $1$ でそれ以外は $0$ である行列，すなわち

a_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j, \\ 0 & i \ne j \end{cases}

となる行列を $n$ 次単位行列 (identity matrix) という。

$n$ 次単位行列は

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}

の形である。 $n$ 次単位行列は $I, E$ や $I_n, E_n$ と書かれることが多い。

$(i,i), \,\, 1\le i\le n$ 成分すなわち対角成分が $1$ であり，それ以外が $0$ である行列が単位行列，単に $(i,j )$ 成分1つのみが $1$ である行列を行列単位というんですね。

単位行列については以下でも解説しています。

行列単位の性質

行列単位と積の性質を述べましょう。

命題（行列単位と積）

1. $E_{ij}$ を $m \times n$ 行列の行列単位， $A=(a_{ij})$ を $n \times l$ 行列とするとき，

第 $i$ 行となっているのは，第 $j$ 行の誤植ではありませんので注意してください。

2. $A=(a_{ij})$ を $m \times n$ 行列， $E_{ij}$ を $n \times l$ 行列の行列単位とするとき，

3. $E_{ij}$ を $m\times n$ 行列の行列単位， $E_{kl}$ を $n \times p$ 行列の行列単位とするとき，
$E_{ij} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}.$
ただし， $\delta_{jk}$ はクロネッカーのデルタであり， $\delta_{jk} =\begin{cases} 1 & \text{if }j=k \\ 0 & \text{if } j\ne k\end{cases}$ と定義される。