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一様分布の定義と性質のわかりやすいまとめ~離散型・連続型~

確率論
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一様分布(離散一様分布・連続一様分布)の定義と,その諸性質(平均・分散・標準偏差・積率母関数・特性関数など)を導出付きでまとめます。

一様分布の定義

一様分布には,離散一様分布連続一様分布があります。まずはそれぞれの定義を確認していきましょう。

離散一様分布

定義(離散一様分布)

確率変数 X 1,2,3,\dots, n 離散一様分布 (discrete uniform distribution) に従うとは,

\color{red}P(X=k) = \frac{1}{n}\quad(1\le k \le n)


となることである。

離散一様分布のイメージ図

X=1,2,3,\dots, n となる確率が等しいということですね。

たとえば,サイコロの出目 X P(X=1) = P(X=2) = \dots = P(X=6) =1/6 と考えられることから, 1,2,3,\dots, 6 上の離散一様分布に従っていると言えますね。

なお,整数 m<n に対し, k=m, m+1, \dots, n 上の離散一様分布も考えることができますが,今回は省略します。

連続一様分布(1次元)

定義(連続一様分布)

確率変数 X [a,b] 連続一様分布 (continuous uniform distribution) に従うとは,

\color{red} P(X\in A) = \int_{A\cap[a,b]} \frac{dx}{b-a}


となることである。このとき,確率密度関数は

p(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x\le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}


となる。

連続一様分布のイメージ図

[a,b] という「連続的」な空間において,各集合に属する確率が「一様」である,ということですね。たとえば,区間 [c,d] \subset [a,b] に対し,

P(X\in [c,d]) = \frac{d-c}{b-a}


になります。

確率密度関数が 1/(b-a) \,\,(a\le x\le b) になるのは,積分して 1 にならないといけないからです。 P(X\in [a,b]) = 1 ですからね。

たとえば,ある区間に,ものを無作為に落としたとき,その区間のどこに落ちるかは,連続一様分布に従っていると言えますね。

一様分布の諸性質まとめ

まず最初に,今回考える諸性質を全て列挙しておきましょう。

離散一様分布連続一様分布
定義 1,2,\dots, n 上の離散一様分布 [a,b] 上の連続一様分布
確率P(X=k) = \frac{1}{n}\\ (k=1,2,\dots,n)\begin{aligned}&P(X\in A) \\&=\int_{A \cap [a,b]} \frac{dx}{b-a} \end{aligned}
確率分布の型離散型連続型
確率密度関数 p(x) なし\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a\le x\le b, \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}
累積分布関数
F(x) = P(X\le x)
\begin{cases} 0 & x \le 1, \\ \frac{\lfloor x\rfloor}{n} & 1 \le x \le n , \\ 1 & n\le x \end{cases} \begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}
平均(期待値) E[X] \frac{n+1}{2} \frac{a+b}{2}
分散 V(X) \frac{n^2-1}{12} \frac{(b-a)^2}{12}
標準偏差 \sqrt{V(X)} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2-1}{3}} \frac{b-a}{2\sqrt{3}}
積率母関数 E[e^{tX}] \frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}
特性関数 E[e^{it X}] \frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})} \frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t}

これらの,特に累積分布関数以降ついて,順番に確認していきましょう。

離散一様分布の諸性質

まずは,離散一様分布の性質から確認していきましょう。

離散一様分布の累積分布関数

離散一様分布の累積分布関数(分布関数)

\color{red} F(x) = P(X\le x ) = \begin{cases} 0 & x \le 1, \\ \lfloor x\rfloor/n & 1 \le x \le n , \\ 1 &n \le x \end{cases}


になります。ここで, \lfloor x\rfloor 床関数(ガウス記号)を表します。グラフを描くと以下のようになります。

離散一様分布の累積分布関数

離散一様分布の平均(期待値)

離散一様分布の平均は

\color{red} E[X] = \frac{n+1}{2} になります。


実際,

E[X] = \sum_{k=1}^n k P(X=k) =\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k =\frac{n+1}{2}


と計算されるからです。

離散一様分布の分散

離散一様分布の分散は

\color{red} V(X) = \frac{n^2-1}{12}


になります。実際,

\begin{aligned}V(X) &= E[X^2]-E[X]^2 \\ &= \sum_{k=1}^n k^2 P(X=k) - E[X]^2 \\ &= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}- \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 =\frac{n^2-1}{12} \end{aligned}


と計算されるからです。

離散一様分布の標準偏差

離散一様分布の標準偏差は,分散のルート \sqrt{V(X)} ですから,

\color{red}\sqrt{V(X)} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}


と求めることができます。

離散一様分布の積率母関数(モーメント母関数)

離散一様分布の積率母関数(モーメント母関数)は,

\color{red} E[e^{tX}] = \frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}


となります。実際,等比数列の和の公式を用いて,

\begin{aligned}E[e^{tX}] = \sum_{k=1}^n e^{tk} P(X=k) = \frac{e^t-e^{t(n+1)}}{n(1-e^t)}\end{aligned}


と計算されるからです。

離散一様分布の特性関数

離散一様分布の特性関数は,

\color{red} E[e^{itX}] =\frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})}


となります。実際,等比数列の和の公式を用いて,

\begin{aligned} E[e^{itX}] = \sum_{k=1}^n e^{itk} P(X=k) = \frac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{n(1-e^{it})}\end{aligned}


と計算されるからです。

連続一様分布の諸性質

続いて,連続一様分布の性質を確認していきましょう。

連続一様分布の累積分布関数

連続一様分布の累積分布関数(分布関数)は,

\color{red} F(x) = P(X \in (-\infty, x]) = \begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}


になります。実際,

F(x) = \int_{-\infty}^x p(x)\, dx = \begin{cases} 0 & x\le a, \\ \frac{x-a}{b-a} & a\le x\le b, \\ 1 & b\le x \end{cases}


と計算されるからです。グラフを描くと以下のようになります。

連続一様分布の累積分布関数

連続一様分布の平均(期待値)

連続一様分布の平均は

\color{red}E[X]= \frac{a+b}{2}


になります。実際,

\begin{aligned}E[X] &= \int_{-\infty}^\infty xp(x) \, dx = \frac{1}{b-a}\int_a^b x \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{a+b}{2} \end{aligned}


と計算されるからです。

連続一様分布の分散

連続一様分布の分散は

\color{red} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}


になります。実際,2次モーメントについて

\begin{aligned}E[X^2] &= \int_{-\infty}^\infty x^2 p(x) \, dx = \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 \, dx \\&= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{aligned}


であるため, V(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \dfrac{(b-a)^2}{12} となるからです。

連続一様分布の標準偏差

連続一様分布の標準偏差は,分散のルート \sqrt{V(X)} ですから,

\color{red}\sqrt{V(X)} =\frac{b-a}{2\sqrt{3}}


と求めることができます。

連続一様分布の積率母関数(モーメント母関数)

連続一様分布の積率母関数(モーメント母関数)は

\color{red}E[e^{tX}]=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t}


となります。実際,

\begin{aligned} E[e^{tX}] &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} p(x)\, dx \\& = \frac{1}{b-a}\int_a^b e^{tx} \, dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{tx}}{t}\right]_a^b \\&=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{(b-a)t} \end{aligned}


と計算されるからです。

連続一様分布の特性関数

連続一様分布の特性関数は,

\color{red} E[e^{it X}]=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t}


となります。実際,

\begin{aligned} E[e^{itX}] &= \int_{-\infty}^\infty e^{itx} p(x)\, dx \\& = \frac{1}{b-a}\int_a^b e^{itx} \, dx = \frac{1}{b-a}\left[\frac{e^{itx}}{it}\right]_a^b \\&=\frac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t} \end{aligned}


と計算されるからです。

おわりに

一様分布は最も基本的な分布とも言えますから,しっかりと身につけましょう。

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