微分積分学(大学)

ガンマ関数とベータ関数の間には，B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) という関係式があります。この関係式について，その導出の証明を行いましょう。

2つの無限級数の積に関する定理である，コーシー積 (Cauchy product) に関する Mertens の定理を紹介し，その証明を行いましょう。最後には具体例も述べます。

1/n^pの和の収束・発散について，0<p≤1で発散し，p>1で収束することは有名でしょう。これと同じようなことが，1/(n(log n)^p)の無限和についても成り立ちます。この定理の主張について確認し，広義積分による収束判定法を用いて証明しましょう。

級数の収束判定法の1つである，Cauchy condensation test（あるいは日本語で「コーシーの凝集判定法」）について，その定理の主張と証明を追っていきましょう。

微分積分学の基本定理とは，リーマン和による積分と，原始関数の概念をつなげる重要かつ基本的な定理です。「微分と積分は逆の操作であることを保証する定理」と言ってもいいでしょう。これについて，その主張と証明を紹介します。

n!の近似公式であるスターリングの公式 (Stirling's formula) について，その主張と厳密な証明を紹介します。n!~√2π(n/e)^nである。ここで，f~gとは，f(x)/g(x) → 1 (x→1) を指す。