微分積分学(大学)

広義積分を用いた正項級数の収束判定法 (integral test for convergence) を考え，それを用いて1/n^pの和についての収束・発散について解説します。

収束する数列は有界であることを証明します。ε-N 論法の演習の一つとしても最適なので，確認していきましょう。証明する前に，「収束する」の定義，「有界である」の定義も考えます。

関数項級数の一様収束を判定する最も基本的な方法である，ワイエルシュトラスのM判定法（Weierstrass M-test, 優級数定理ともいう）について紹介し，定理の証明と具体例の紹介をします。

級数の収束判定の重要なものとして「コーシーの収束判定法」と「ダランベールの収束判定法」が取り上げられることがあります。これらについて，ダランベールが使えるものは全てコーシーが使えることを証明し，両方が使える例とコーシーのみが使える例を挙げます。

級数の収束・発散を判定する方法で有名なものの一つに，「コーシーの収束判定法 (Cauchy's root test) 」というものがあります。これの主張と具体例を紹介し，最後に証明を行います。

級数の収束・発散を判定する方法（十分条件）として，最も有名なものの一つである，ダランベールの収束判定法 (d'Alembert's ratio test) について，その主張と適用できる例・適用できない具体例を紹介し，最後に証明を述べます。

級数の収束・発散の議論にあたって，比較判定法（comparison test, 優級数による収束判定法，優級数定理）は最も基本的かつ有用なものです。これについて定理の主張を述べ，その証明と具体例を紹介します。

ε-δ論法を習った後によく出てくる有名な定理の一つとして，「数列が収束すれば平均も同じ値に収束する」というものがあります。これについて紹介します。相加平均の定理はもちろん，相乗平均に関する定理も紹介します。

有限和においては，和の順序を交換しても同じ値に収束します。一方でこれは無限和では成立しません。単に成立しないどころか，「和の順序を変えることで任意の値に収束できる」ことがあります。今回はこのような定理を紹介・証明します。