微分積分学(大学)

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絶対収束級数は和の順序によらず同じ値に収束することの証明

有限和のときは,和の順序を入れ替えても値は同じになりますが,無限和のときは,一般にそうとは限りません。しかし,絶対収束級数においては,項の順番を任意に入れ替えても,同じ値に収束することが知られています。この定理を紹介し,証明しましょう。
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閉区間上各点収束列が同程度連続ならば一様収束することの証明

関数列が各点収束するとき,同程度連続であれば,それが一様収束であるという定理を紹介し,証明します。 \{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} を同程度連続な関数列とし,f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}に各点収束するなら,この収束は一様収束である。
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中間値の定理とは~主張・証明と何が本質なのかを解説~

中間値の定理とは,「連続関数なら,間の値を全て取る」という一見当たり前の定理です。これについて,その主張と,その証明を紹介します。さらに,根底にある「当たり前の性質」が何なのかも考えましょう。最後に位相空間論の言葉を用いた主張も述べます。
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【最大値の定理】有界閉区間上の連続関数は最大値を持つことの証明

最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる,連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ,注意点を列挙してから,証明します。最後に多次元の場合も扱います。
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ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理とその証明

大学教養数学のさまざまなところに登場する,ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano–Weierstrass Theorem) について紹介します。まず1次元の場合を紹介し,次に多次元の場合を紹介して,最後に位相空間論の言葉を用いて述べます。
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C1級,Cn級,C∞級関数の定義と具体例5つ

C^1級関数(または連続微分可能)やC^n級関数,C^∞級関数の定義とその具体例について紹介します。1変数の場合はもちろん,最後に多変数の場合も扱います。よく出てくる用語ですから,しっかりと抑えておきましょう。
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有界閉区間上の連続関数は一様連続になることの証明

一様連続性は連続性より強い概念ですが,有界閉区間上であれば,連続性だけで一様連続が従います。この定理を証明していきましょう。一様連続性は数学において,便利な性質の一つです。そのため,連続から一様連続が従うのはとても嬉しいことです。
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一様連続と連続の違いをわかりやすく図解する

一様連続性 (uniform continuity) とは,集合の上における,各点での連続性 (pointwise continuity) より強い概念です。連続性と一様連続性の違いを,図や具体例を交えて詳しく確認していきましょう。
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連続関数列の一様収束極限は必ず連続関数になることの証明

一様収束 (uniformly convergence) と各点収束 (pointwise convergence) の顕著な違いとして,連続関数列の極限が再び連続関数になるという性質が挙げられます。このことの証明と,なぜ一様収束でないとこの性質が言えないのかを考えてみましょう。
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一様収束と各点収束の違いを4つの例とともに理解する

大学数学においては必須である,関数列の一様収束 (uniformly convergence) と各点収束 (pointwise convergence) の違いを定義や具体例とともに正しく理解し,イメージを膨らませられるようにしていきましょう。
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