微分積分学(大学)

級数の収束・発散を判定する方法で有名なものの一つに，「コーシーの収束判定法 (Cauchy's root test) 」というものがあります。これの主張と具体例を紹介し，最後に証明を行います。

級数の収束・発散を判定する方法（十分条件）として，最も有名なものの一つである，ダランベールの収束判定法 (d'Alembert's ratio test) について，その主張と適用できる例・適用できない具体例を紹介し，最後に証明を述べます。

級数の収束・発散の議論にあたって，比較判定法（comparison test, 優級数による収束判定法，優級数定理）は最も基本的かつ有用なものです。これについて定理の主張を述べ，その証明と具体例を紹介します。

ε-δ論法を習った後によく出てくる有名な定理の一つとして，「数列が収束すれば平均も同じ値に収束する」というものがあります。これについて紹介します。相加平均の定理はもちろん，相乗平均に関する定理も紹介します。

有限和においては，和の順序を交換しても同じ値に収束します。一方でこれは無限和では成立しません。単に成立しないどころか，「和の順序を変えることで任意の値に収束できる」ことがあります。今回はこのような定理を紹介・証明します。

有限和のときは，和の順序を入れ替えても値は同じになりますが，無限和のときは，一般にそうとは限りません。しかし，絶対収束級数においては，項の順番を任意に入れ替えても，同じ値に収束することが知られています。この定理を紹介し，証明しましょう。

関数列が各点収束するとき，同程度連続であれば，それが一様収束であるという定理を紹介し，証明します。 \{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} を同程度連続な関数列とし，f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}に各点収束するなら，この収束は一様収束である。

最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる，連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ，注意点を列挙してから，証明します。最後に多次元の場合も扱います。