微分積分学(大学)

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【級数】広義積分による収束判定法と1/n^pの和の収束・発散

広義積分を用いた正項級数の収束判定法 (integral test for convergence) を考え,それを用いて1/n^pの和についての収束・発散について解説します。
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収束する数列は有界であることの証明

収束する数列は有界であることを証明します。ε-N 論法の演習の一つとしても最適なので,確認していきましょう。証明する前に,「収束する」の定義,「有界である」の定義も考えます。
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広義一様収束の定義と具体例

関数列において広義一様収束 (コンパクト一様収束, converge uniformly on compacts) は,一様収束より広い概念です。これの定義と具体例を確認しましょう。
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ワイエルシュトラスのM判定法(優級数定理)とは~証明と具体例~

関数項級数の一様収束を判定する最も基本的な方法である,ワイエルシュトラスのM判定法(Weierstrass M-test, 優級数定理ともいう)について紹介し,定理の証明と具体例の紹介をします。
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【級数の収束判定】コーシーはダランベールより広い証明と具体例

級数の収束判定の重要なものとして「コーシーの収束判定法」と「ダランベールの収束判定法」が取り上げられることがあります。これらについて,ダランベールが使えるものは全てコーシーが使えることを証明し,両方が使える例とコーシーのみが使える例を挙げます。
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【級数】コーシーの収束判定法とは~具体例8つと証明~

級数の収束・発散を判定する方法で有名なものの一つに,「コーシーの収束判定法 (Cauchy's root test) 」というものがあります。これの主張と具体例を紹介し,最後に証明を行います。
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【級数】ダランベールの収束判定法とは~具体例11個と証明~

級数の収束・発散を判定する方法(十分条件)として,最も有名なものの一つである,ダランベールの収束判定法 (d'Alembert's ratio test) について,その主張と適用できる例・適用できない具体例を紹介し,最後に証明を述べます。
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【級数の収束】比較判定法は最も基本的かつ有用なものである

級数の収束・発散の議論にあたって,比較判定法(comparison test, 優級数による収束判定法,優級数定理)は最も基本的かつ有用なものです。これについて定理の主張を述べ,その証明と具体例を紹介します。
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【チェザロ平均】数列が収束するとき平均も同じ値に収束する証明

ε-δ論法を習った後によく出てくる有名な定理の一つとして,「数列が収束すれば平均も同じ値に収束する」というものがあります。これについて紹介します。相加平均の定理はもちろん,相乗平均に関する定理も紹介します。
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条件収束級数は和の順序交換により任意の値に収束できることの証明

有限和においては,和の順序を交換しても同じ値に収束します。一方でこれは無限和では成立しません。単に成立しないどころか,「和の順序を変えることで任意の値に収束できる」ことがあります。今回はこのような定理を紹介・証明します。
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