解析学(大学)

測度論

σ有限な測度とは~定義と例・反例~

σ-有限測度 (σ-finite) とは,μ(A_n)<∞ (n≧1) かつ A_n ↑ X となる可測集合列 {A_n} が取れることを言います。σ-有限測度について,定義と具体例を挙げましょう。
測度論

一様可積分性とヴィタリの収束定理

一様可積分性 (uniform integrability) は,とくに有限測度のときに有用です。ここでは,一様可積分性の定義と,一様可積分のときに用いることのできる「ヴィタリの収束定理 (Vitali convergence theorem)」について解説していきましょう。
測度論

ルベーグの収束定理(優収束定理)とその例題・証明

ルベーグの収束定理 (優収束定理; dominated convergence theorem, DCT) とは,ルベーグ積分・測度論における「積分と極限の交換定理」の1つで,ルベーグ積分の根幹をなす定理といえます。ルベーグの収束定理について,その主張と例題・証明を行っていきましょう。
測度論

Fatouの補題とその証明・具体例・活用例

測度論・ルベーグ積分におけるFatouの補題 (Fatou's lemma;ファトウの補題) は,収束定理の中で大事な定理の一つです。Fatouの補題について,その主張と証明,さらに活用例・具体例を解説していきましょう。
測度論

【測度論】単調収束定理とその応用・証明

測度論・ルベーグ積分における単調収束定理 (monotone convergence theorem; MCT) とは,非負可測関数の上昇列に対し,極限と積分の交換が可能であるという定理です。ルベーグ積分における基本的かつ重要な収束定理の一つです。これについて,その主張と証明を行いましょう。
測度論

【数学科向け】ルベーグ積分の定義を段階を踏んで解説する

数学科向けに,ルベーグ積分の定義を「非負単関数→非負可測関数→一般の可測関数」の順に述べていきましょう。本記事は「お気持ち」記事ではなく,ルベーグ積分を厳密に定義していきます。測度空間・単関数・可測関数などはある程度既知とします。
統計学

相関係数とデータの相関を詳しく

相関係数の定義とデータの相関について,その定義からイメージ,よくある誤りや実際の求め方の例までを順番に詳しく解説しましょう。
統計学

データの共分散の定義と求め方の具体例・性質

データにおける共分散 (covariance) ついて定義を詳しく述べ,求め方の具体例から性質までを証明付きで順番に述べましょう。
統計学

データの分散・標準偏差の定義・具体例・性質まとめ

統計学における,データの散らばり具合を表す指標である「分散(variance)・標準偏差(standard deviation)」について,その定義と具体例・大事な性質を紹介します。さらに,分散の定義の「なぜ」についても掘り下げます。
統計学

散布図とは~定義を図解~

散布図とは,座標平面上に点をかくようにしてデータを可視化するものです。数値を2つずつ持つデータにおいて,その関連性を把握するために用います。散布図について,その定義と具体例を確認しましょう。
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