微分積分学(大学) 【チェザロ平均】数列が収束するとき平均も同じ値に収束する証明
ε-δ論法を習った後によく出てくる有名な定理の一つとして，「数列が収束すれば平均も同じ値に収束する」というものがあります。これについて紹介します。相加平均の定理はもちろん，相乗平均に関する定理も紹介します。
解析学(大学)
微分積分学(大学) 
微分積分学(大学) 条件収束級数は和の順序交換により任意の値に収束できることの証明
有限和においては，和の順序を交換しても同じ値に収束します。一方でこれは無限和では成立しません。単に成立しないどころか，「和の順序を変えることで任意の値に収束できる」ことがあります。今回はこのような定理を紹介・証明します。
微分積分学(大学) 絶対収束級数は和の順序によらず同じ値に収束することの証明
有限和のときは，和の順序を入れ替えても値は同じになりますが，無限和のときは，一般にそうとは限りません。しかし，絶対収束級数においては，項の順番を任意に入れ替えても，同じ値に収束することが知られています。この定理を紹介し，証明しましょう。
微分積分学(大学) 閉区間上各点収束列が同程度連続ならば一様収束することの証明
関数列が各点収束するとき，同程度連続であれば，それが一様収束であるという定理を紹介し，証明します。 \{f_n\colon [0, 1] \to \mathbb{R} を同程度連続な関数列とし，f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}に各点収束するなら，この収束は一様収束である。
集合と位相 写像の像・逆像と集合との演算証明
像・逆像と集合との演算とその証明をします。f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2), f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2), f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1} (B_1) \cup f^{-1}(B_2), f^{-1} (B_1 \cap B_2) = f^{-1} (B_1) \cap f^{-1}(B_2)
解析学(大学)その他 劣線形性をもつ関数の定義と性質
劣線形的関数 (sublinear function) の定義と具体例・性質をまとめます。
解析学(大学)その他 劣加法性を持つ関数の定義と性質
劣加法的関数 (subadditive function) ・優加法的関数 (superadditive function) の定義とその具体例，そして性質（極限挙動・連続性など）について，証明つきで解説します。
微分積分学(大学) 中間値の定理とは～主張・証明と何が本質なのかを解説～
中間値の定理とは，「連続関数なら，間の値を全て取る」という一見当たり前の定理です。これについて，その主張と，その証明を紹介します。さらに，根底にある「当たり前の性質」が何なのかも考えましょう。最後に位相空間論の言葉を用いた主張も述べます。
微分積分学(大学) 【最大値の定理】有界閉区間上の連続関数は最大値を持つことの証明
最大値の定理・最小値の定理 (extreme value theorem) といわれる，連続関数における基本的な定理を紹介します。まず定理の主張を述べ，注意点を列挙してから，証明します。最後に多次元の場合も扱います。
微分積分学(大学) ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理とその証明
大学教養数学のさまざまなところに登場する，ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理 (Bolzano–Weierstrass Theorem) について紹介します。まず1次元の場合を紹介し，次に多次元の場合を紹介して，最後に位相空間論の言葉を用いて述べます。