解析学(大学)

位相空間論におけるT1空間，あるいはフレシェ空間であるとは，T1分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。T1空間について，その定義と具体例をT0空間（コルモゴロフ空間）やT2空間（ハウスドルフ空間）を織り交ぜながら，掘り下げましょう。

位相空間論におけるコルモゴロフ空間，あるいはT0空間とは，T0-分離公理と呼ばれるものを満たす空間です。分離公理とは，各点が，位相的にどのくらい「離れている」かを測る指標です。コルモゴロフ空間について，その定義と具体例を掘り下げましょう。

同相写像とは，位相的性質を保つ写像のことで，同相写像が存在する2つの位相空間は，位相的性質が全く同じであり，そのような2つの位相空間は，同相(位相同型)であるといいます。これにより，位相空間を分類することが可能です。同相写像と同相(位相同型)の定義・具体例・性質を紹介し，さらに，全単射かつ連続だけだと，同相とは言えないことも解説しましょう。

開写像とは，開集合の像(image)を開集合にうつす写像のことで，閉写像とは，閉集合の像(image)を閉集合にうつす写像のことです。開集合・閉写像の定義と具体例・性質を，連続写像と絡めながら，解説しましょう。

位相空間における連続写像とは，「開集合の逆像が開集合」になるという風に定義されます。まずは，連続写像の定義と，それと同値な性質について，証明付きで紹介し，さらに今までの連続性の定義のベースであった，イプシロンデルタ論法との定義の一貫性を確認します。その後，その他の性質もたくさん述べます。