【べき級数】収束半径の定義と求め方とその具体例3つ

べき級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ， $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n$ における収束半径とは何か定義し，さらにその求め方と具体例について解説します。

収束半径とは
収束半径の求め方
1. ダランベールの公式による判定
2. コーシーアダマールの公式による判定
収束半径の具体例

収束半径とは

定義（収束半径）

べき級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ が

$\color{red}|x| < r$ のとき絶対収束し，
$\color{red} |x| > r$ のとき発散するとき，

この $r$ を収束半径 (radius of convergence) という。

ただし，すべての $x \ne 0$ で発散するとき，収束半径は $r= 0$ と定め，すべての $x$ で収束するときは収束半径は $r=\infty$ と規定する。

最初に注意ですが， $|x|=r$ のときの収束・発散は述べていないことに注意しましょう。 $|x|=r$ では，絶対収束・条件収束・発散のどれもあり得ます。具体例は後ほど述べましょう。

ここで $x$ は実数でなく，複素数でも良いです。加えて $0$ を中心としたべき級数ではなく， $a\in\mathbb{C}$ を中心としてもよいです。これを踏まえて，上の定義を一般化しましょう。

定義（収束半径）

べき級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n$ が

$\color{red}|z-a| < r$ のとき絶対収束し，
$\color{red} |z-a| > r$ のとき発散するとき，

この $r$ を収束半径 (radius of convergence) という。

ただし，すべての $z \ne a$ で発散するとき，収束半径は $r= 0$ と定め，すべての $z$ で収束するときは収束半径は $r=\infty$ と規定する。

$a=0, x\in \mathbb{R}$ とすると，最初の定義に一致しますね。

以降は，こちらの一般的な定義の方で進めていきます。

収束半径の求め方

さて，収束判定法の求め方として，

ダランベールの公式による判定
コーシーアダマールの公式による判定

の2つを紹介します。

ダランベールの公式による判定

定理（ダランベールの公式）

べき級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n$ に対して，

r =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\in [0,\infty]

が存在するとき， $r$ は収束半径である。

これは，級数におけるダランベールの収束判定法と関連しています。実際， $|z-a|<r$ としたとき，

\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}(z-a)^{n+1}}{a_n(z-a)^n}\right| \\ & =\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| |z-a| <\frac{1}{r}\cdot r = 1\end{aligned}

が成立するため，ダランベールの収束判定法により収束します。
ダランベールの収束判定法については，以下の記事を参照してください。

コーシーアダマールの公式による判定

定理（コーシーアダマールの公式）

べき級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n$ に対して，

r = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}

とすると， $r$ は収束半径である。ただし， $1/\infty = 0, \,1/0 =\infty$ と解釈する。

コーシーアダマールの公式は，ダランベールの公式より求めるのが難しいです。しかし $\limsup$ は必ず存在するため，これを用いれば収束半径を必ず求めることができます。

本定理は，級数におけるコーシーの収束判定法と関連しています。実際， $|z-a|<r$ としたとき

\begin{aligned} & \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n(z-a)^n|} \\ &= \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}|z-a| < \frac{1}{r} \cdot r = 1 \end{aligned}

が成立するため，コーシーの収束判定法により収束します。
コーシーの収束判定法については，以下の記事を参照してください。

なお本定理から，どんなべき級数でも必ず収束半径が存在することもわかります。すなわち，

$|z-a| < r$ をみたす任意の $z$ に対して，べき級数は絶対収束する
$|z-a| > r$ をみたす任意の $z$ に対して，べき級数は発散する

の両方を同時に満たす $0\le r \le \infty$ は必ず存在することがわかります。

収束半径の具体例

収束半径を求める具体例を挙げましょう。またそれと同時に， $|x|=r$ のときにどうなるかも考えてみましょう。

例1.

$\displaystyle\color{red} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} x^n$ の収束半径は $r = 2$ である。

これは，ダランベールの判定法を用いて，

\left|\frac{1/2^n}{1/2^{n+1}}\right| =2

であることから従います。

このことより， $|x|< 2$ では絶対収束し， $|x|> 2$ のとき発散することが分かりました。ところで， $|x|=2$ のときはどうなるのでしょうか？ 結論，今回の場合は $|x| = 2$ のときは発散します。

実際， $|x|=2$ とすると，各項について $|\frac{1}{2^n} x^n| = 1$ となって $0$ に収束しないため，収束することはありません。

例2.

$\displaystyle\color{red} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} x^n$ の収束半径は $r = 1$ である。

これは，ダランベールの判定法を用いて，

\begin{aligned}\left|\frac{1/n}{1/(n+1)} \right| &= \left|\frac{n+1}{n} \right| \xrightarrow{n\to\infty} 1 \end{aligned}

であることから従います。

このことより， $|x|< 1$ では絶対収束し， $|x|> 1$ のとき発散することが分かりました。では， $|x|=1$ のときはどうなるのでしょうか？結論，今回の場合は $x=1$ のときは発散し， $x=e^{i\theta} \,(\theta \notin \{2m\pi \mid m \in\mathbb{Z} \})$ のとき(すなわち $|x|=1$ かつ $x\ne 1$ のとき)は条件収束します。