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ラグランジュの定理とその証明・応用例【群論】

群・環・体

ラグランジュの定理とは,有限群とその部分群の位数における基本的な定理で,有限群の分類などに非常に役に立つ定理です。

ラグランジュの定理について紹介・証明し,応用例も挙げましょう。

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ラグランジュの定理

ラグランジュの定理

ちょっと忘れてる言葉が出てくるかもしれませんが,あとで復習を入れるので,全くの初見でなければ各リンク先には飛ばなくてよいです。

「有限群」とは,集合として有限集合である群のことです。

ラグランジュの定理 (Lagrange’s theorem)

G を有限群とし, H\subset G をその部分群とする。このとき,

  1. \color{red} |G| = (G:H)|H| が成り立つ。特に,部分群の位数指数 G位数の約数である。
  2. 各元 g\in G位数 G位数の約数である。

本記事では, (G:H) は部分群 H\subset G指数 (index) を表すことにします(後で軽く復習します)。

復習ですが, G位数 (order) とは,集合としての要素の個数を表します。 g\in G の位数 (order) とは, g^n=e (単位元)となる最小の n\ge 1 のことで,巡回群 \langle g\rangle の位数に一致します(→群の位数・元の位数とは~定義・例・性質~)。

1.が示せれば2.は明らかです。元 g\in G の位数は部分群 \langle g\rangle \subset G の位数ですから,1.から直ちに従うからです。

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ラグランジュの定理の証明

証明の準備

証明のために必要である,

  • 左剰余類
  • 左剰余集合と指数

について復習しておきましょう。

左剰余類の復習

H\subset G部分群 g\in G とするとき,

\color{red} gH =\{gh\mid h\in H\}


左剰余類 (left coset) という。左剰余類は同値類である。特に, g_1,g_2\in G に対し,

\begin{equation}g_1H=g_2H \quad\text{or}\quad g_1H\cap g_2H = \emptyset \end{equation}


が成立する。また,任意の g\in G に対し,集合の濃度(要素の個数)について

\begin{equation}|gH|=|H| \end{equation}


が成り立つ。

右剰余類も同様に定義できますが,今回はなくてもいいので省略します。

左剰余集合・指数の復習

左剰余類全体の集合 \color{red} G/H =\{gH\mid g\in G\}左剰余集合(left factor set)という。

左剰余集合の濃度(要素の個数)を部分群 H\subset G指数 (index) といい,\color{red} (G:H) [G:H] などとかく。

以上,必要な概念を軽く復習しました。以上の概念の詳しい解説は以下の記事で行っています。

ラグランジュの定理の証明

さて,証明にうつりましょう。証明すべきはラグランジュの定理1.の |G| = (G:H)|H| です。

証明

左剰余類について (1) 式より, G の各元は G/H=\{ gH\mid g\in G\} 内のいずれか一つのみの左剰余類に属する。(これは「左剰余類が同値類だから」と言ってもよい。)

よって群 G の位数は,各左剰余類の濃度(元の個数)を全て足し合わせたものである。

(2) 式より,各左剰余類の濃度は |H| に等しい。 G/H の濃度,すなわち左剰余類の個数は (G:H) 個なので, |G| = (G:H)|H| となる。

証明終

ラグランジュの定理の証明のイメージ

ラグランジュの定理の応用例

ラグランジュの定理の簡単な応用例を挙げましょう。

例1.

位数 15 の群は,位数 4 の部分群を持ち得ない。

4 15 の約数ではないからですね。

例2.

素数位数の群 G は巡回群である。

e\ne g\in G の位数は,素数の約数ですからその素数自身になり, G=\langle g\rangle となるからですね。これについては,以下でも解説しています。

他にも,ラグランジュの定理の応用として有名なのは,フェルマーの小定理や,それを一般化したオイラーの定理の証明に利用することです以下で解説しています。

関連する記事

参考

  1. 堀田良之「代数入門-群と加群-」 (裳華房 数学シリーズ,第19版,2008)
  2. 雪江明彦「整数論1 初等整数論からp進数へ」(日本評論社,2013)
  3. 雪江明彦「代数学1 群論入門」(日本評論社,第2版,2023)