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正規直交系とは，大きさが1であり，互いに直交するベクトルの集まりを指します。また，正規直交基底(完全正規直交系)とは，正規直交系で，かつ全てのベクトルがそれらを用いて表現可能なことをいいます。正規直交系・正規直交基底について，定義と具体例を見ていきましょう。

ヒルベルト空間とは，内積が定義されていて，かつ完備（敷き詰まっている）空間のことを言います。ヒルベルト空間の定義を確認し，関数解析で良く用いられる具体例と基本的性質を述べましょう。

バナッハ空間 (Banach space) とは，距離空間として完備なノルム空間のことを言います。バナッハ空間について，定義を詳しく紹介し，それから具体例5つと基本的性質を述べましょう。

あるベクトル空間には，複数のノルムの定め方があります。しかし，それらのノルムは結局同じ「収束」を扱うことになる場合があります。このとき，ノルムは同値であるといいます。ノルムの同値性の具体的な定義と，有限次元ベクトル空間のノルムは全て同値であること，また，逆に無限次元ベクトル空間ではノルムが同値にならないことがあることを紹介します。

内積が定まったベクトル空間のことを，内積空間といいます。内積とは，2つのベクトル同士を「測る」ツールであり，内積が定まるベクトル空間は，「直交」といった概念を導入することが可能です。内積について，その定義と，具体例，さらにノルムとの関係を述べ，ノルムとの関係を扱う上で必要な中線定理についても記述しましょう。

ノルム(norm)とは，ベクトルの大きさを定める量のようなものです。ノルムを定義することで，ベクトル同士の「距離」を考えることができるようになり，収束の議論ができるようになります。ノルム・ノルム空間の定義を述べ，その簡単な具体例を紹介しましょう。